Игрушечная ракета летит по участку параболы с вертикальной осью

Обновлено: 11.05.2024

Поскольку ракета является игрушечной, будем считать, что в области пространства, где происходит движение ракеты, ускорение свободного падения остается постоянным. Кроме того, лабораторную систему, неподвижную относительно стартовой площадки, будем считать инерциальной. Начало отсчета лабораторной системы совместим с точкой старта, ось этой системы направим вертикально вверх, а ось — горизонтально так, чтобы траектория ракеты лежала в плоскости . По условию задачи влиянием воздуха на ракету следует пренебречь. Поэтому можно утверждать, что на летящую с работающим двигателем ракету действуют только постоянная сила тяги ее двигателя и сила тяжести , где — масса ракеты, остающаяся по условию неизменной. Поскольку скорость ракеты в любой момент времени (в том числе и в момент старта) должна быть направлена по касательной к траектории, ось выбранной системы координат должна быть осью симметрии параболы, ветвь которой по условию задачи является траекторией полета ракеты с работающим двигателем. Учитывая сказанное и то, что сила тяги двигателя постоянна и образует с горизонтом угол , можно утверждать, что проекции силы тяги на оси выбранной системы координат должны удовлетворять условию: . Следовательно, до момента времени выключения двигателя скорость ракеты вдоль оси оставалась постоянной и равной , а вдоль оси величина ускорения ракеты была равна . Поэтому в момент выключения двигателя проекции вектора скорости ракеты на оси выбранной системы координат были равны

\begin</p> <p>v_x = \textsl\tau \quad > \quad v_y = v_0 ,\end

а ракета поднялась на высоту

\begin</p> <p>h = v_0 \tau .\end

После выключения двигателя ракета совершает свободное падение, т.е. движется вдоль оси с неизменной скоростью, а вдоль оси с ускорением . Следовательно, за время свободного падения, согласно закону сохранения механической энергии, ее кинетическая энергия увеличивается на величину работы сил тяжести и становится равной

\begin</p> <p>\mathchoice>>> + m\textslh ,\end

где — модуль скорости ракеты в момент падения. Подставляя в это выражение ранее найденные значения , и , получим

\begin</p> <p>u = v_0 + \textsl\tau .\end

Учитывая, что величина горизонтальной составляющей скорости ракеты в момент падения была равна , можно утверждать, что при выполнении сделанных предположений угол наклона скорости ракеты к вертикали в указанный момент должен удовлетворять соотношению

\begin</p> <p>\sin \alpha = \mathchoice>\tau >\tau>> , \end


а потому искомое время работы двигателя, с учетом того, что , равно

\begin</p> <p>\tau = \mathchoice\left( \right)>> = 1 >.\end


.

Представляю 106 тренировочный вариант. Решайте больше, решайте лучше!

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

  • Анна
    Через недельку.
  • Николай
    и за этот ответ спасибо. Теперь уж.
  • Николай
    Огромное спасибо.
  • Ксения
    А почему я не вижу нормального текста ? Половина текст ,а другая половина символы .
  • Анна
    Ждем-с. Скоро.

Рекомендую

Рубрики

    (5) (11) (467)
      (48) (21) (7)
        (1) (3)
        (3) (3) (6) (4) (5) (31) (65) (56) (43) (27) (42) (25) (49) (3)
        (1) (1) (1) (4) (5) (4) (30) (3) (1) (1) (1) (2) (2) (3) (1) (1) (15) (1) (23) (2) (1) (6) (1) (1) (1)
        (859)
          (35) (318) (200)
            (14) (44)
              (16) (11) (14) (4)
              (13) (45) (20) (21) (22)
              (11) (9) (3) (16) (55)
                (17) (16) (20) (10) (12)
                (10) (19)
                (33)
                  (10) (19) (11) (11)
                  (9) (4) (1) (5) (7) (3)
                  (17) (10) (11) (10)
                  (51)
                    (1) (1) (1) (13) (7) (17) (3) (2) (3) (10)
                      (6)
                      (1) (1) (1) (1) (1)

                    Профи.ру

                    Пароль для библиотеки – 777

                    Лучший хостинг в мире!

                    Бесплатный перенос сайтов к нам

                    Последние записи

                    Облако меток

                    Архивы

                      (10) (9) (8) (10) (8) (9) (13) (13) (13) (13) (15) (16) (15) (18) (16) (15) (16) (14) (15) (14) (15) (16) (14) (15) (16) (19) (17) (20) (17) (21) (23) (23) (23) (19) (16) (15) (18) (21) (21) (25) (22) (22) (23) (22) (22) (24) (16) (15) (15) (16) (15) (16) (16) (16) (17) (15) (17) (15) (15) (16) (15) (17) (15) (16) (14) (18) (20) (15) (16) (16) (17) (17) (15) (15) (17) (18) (12) (10) (8) (13) (13) (1) (3) (14) (6) (9) (9) (12) (8) (2) (3) (25) (55) (16) (5) (6) (35) (3) (4) (1)

                    Профи.ру

                    Пароль для библиотеки – 777

                    Лучший хостинг в мире!

                    Бесплатный перенос сайтов к нам

                    Последние записи

                    Облако меток

                    Архивы

                      (10) (9) (8) (10) (8) (9) (13) (13) (13) (13) (15) (16) (15) (18) (16) (15) (16) (14) (15) (14) (15) (16) (14) (15) (16) (19) (17) (20) (17) (21) (23) (23) (23) (19) (16) (15) (18) (21) (21) (25) (22) (22) (23) (22) (22) (24) (16) (15) (15) (16) (15) (16) (16) (16) (17) (15) (17) (15) (15) (16) (15) (17) (15) (16) (14) (18) (20) (15) (16) (16) (17) (17) (15) (15) (17) (18) (12) (10) (8) (13) (13) (1) (3) (14) (6) (9) (9) (12) (8) (2) (3) (25) (55) (16) (5) (6) (35) (3) (4) (1)

                    Автор сайта

                    Авторские права

                    Сайт Денисовой Анны Валерьевны «Простая физика» - Просто об электротехнике, электронике, математике, физике. © Все права защищены. 2014 - 2015.

                    Все материалы сайта бесплатны! Копируя, ставьте пожалуйста ссылку на сайт "Простая физика".

                    Задачи в статье представлены довольно сложные и интересные. Я постаралась объяснять решение доступно и снабдить достаточным количеством картинок.

                    Задача 1. По результатам геофизических исследований установлено, что за последние $\tau=40$ лет продолжительность суток на Земле увеличилась на $\Delta T=0,001$ с (замедление осевого вращения Земли обусловлено, в первую очередь, действием приливов). Вычислите по этим данным угловое ускорение Земли. Считая вращение Земли равнозамедленным, определите, через сколько миллионов лет продолжительность суток на Земле увеличится на 1 минуту?

                    Положим, у Земли была угловая скорость

                    А через 40 лет стала

                    Тогда ее изменение

                    Изменение скорости произошло за 40 лет, поэтому ускорение

                    Теперь ответим на второй вопрос задачи. Теперь $\Delta T_1=60$ c, но ускорение осталось прежним, следовательно,

                    Ответ: 2,4 млн. лет.

                    Задача 2. Под каким углом $\alpha$ к горизонту брошен камень, если за время полёта от старта до наивысшей точки траектории радиус кривизны уменьшается в 27 раз?

                    Нормальное ускорение камня на старте равно

                    А в наивысшей точке полета

                    Если для наивысшей точки принять $ a_=g$, то на старте $a_=g\cos$, следовательно,

                    Ответ: 70 градусов к горизонту.

                    Задача 3. Прибор состоит из гладкого изогнутого под прямым углом стержня, расположенного в горизонтальной плоскости, и муфточки А массы $m$, соединённой с пружинкой жёсткости $k$(рис.). Второй конец пружинки закреплён в точке В. Вся система вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через точку О. Найдите относительное удлинение пружинки $\frac$.

                    движение по кругу

                    Сила упругости будет действовать вдоль пружинки, а центростремительная сила – по радиусу. В данном случае радиус – это гипотенуза треугольника, катетами которого являются части стержня. То есть сила упругости – это проекция центростремительной силы на короткий конец стержня.

                    Тогда запишем это:

                    Подставим все в (1):

                    Задача 4. В августе 2007 г. в Жуковском на авиасалоне МАКС–2007 впервые в мире пять тяжёлых истребителей Су–27 из пилотажной группы «Русские витязи» и четыре фронтовых истребителя МиГ–29 из пилотажной группы «Стрижи», пролетая мимо зрителей со скоростью $\upsilon_1=100$ м/с в плотном строю «ромб» (рис. 21), приблизительно за $t=18$ с выполнили «бочку» (вращение строем на $360^$ вокруг горизонтальной оси; см. видео в интернете). Крайние истребители Су–27 удалены от истребителя в центре строя на $r=30$ м. На какую величину $\Delta \upsilon$ скорость крайних истребителей Су–27 должна превышать скорость истребителя в центре строя во время выполнения фигуры? Во сколько раз наибольшая сила давления на сиденье лётчика крайнего истребителя больше силы тяжести лётчика во время выполнения фигуры?

                    Если вращение выполняется за 18 с, то можно записать, что крыло самолета описывает круг за это время:

                    Это мы нашли линейную скорость крыла. Но у крыла есть еще поступательная скорость. Так как обе эти скорости (их вектора) перпендикулярны друг другу, то можно найти итоговую скорость крыла:

                    То есть скорости отличаются немного: всего на 0,55 м/с. Ответим на второй вопрос задачи, наибольшая сиа давления:

                    Отношение силы давления в верхней части траектории к силе тяжести будет

                    Ответ: $\Delta \upsilon=0,55$ м/с, $\frac=1,37$.

                    Масса такого шара равна

                    По второму закону Ньютона:

                    Ответ: $\upsilon=0,026$ м/с.

                    Задача 6. Мотоциклист едет по треку, плоскость которого наклонена к горизонту под углом $\alpha=\frac<\pi>$. Траектория мотоциклиста – окружность радиуса $R=90$ м, лежащая в горизонтальной плоскости. Коэффициент трения скольжения шин по трековой дорожке $\mu=0,5$. Вычислите максимально допустимую скорость движения мотоциклиста.

                    трение, по кругу

                    Второй закон Ньютона для мотоциклиста:

                    Если записать уравнение равновесия сил в проекциях на ось, перпендикулярную треку:

                    В проекциях на плоскость трека:

                    Приравняем силы трения:

                    Задача 7. Груз на нити висит в Москве. При какой продолжительности суток нить расположилась бы параллельно оси вращения Земли?

                    движение по кругу

                    Груз отклоняется от вертикали на некоторый угол $\alpha$. Тогда

                    Разделим эти выражения друг на друга:

                    Пусть $t$ – сутки (период обращения земли), а $h$ – радиус, по которому обращается вокруг оси тело, находясь на широте Москвы, тогда

                    Подставим скорость в полученное выше выражение:

                    Предположительно угол небольшой, синус можно заменить самим углом в радианной мере, и тангенс аналогично. Поэтому окончательное выражение упростилось. Время получено в с, в часах это примерно 1,4 часа.

                    Задача 8. Цилиндрический сосуд радиуса $R$, заполненный жидкостью плотностью $\rho$, вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью симметрии цилиндра. В сосуде находится шарик радиуса $r$ и плотности $2\rho$. С какой по величине силой шарик давит на вертикальную боковую стенку сосуда?

                    Движение по кругу

                    Вес шарика в жидкости равен

                    $$P= mg – F_A =mg -\rho g V $$

                    Сила Архимеда появляется вследствие разности давлений воды на разных глубинах. Давление воды обусловлено ее весом. Вес воды определяется наличием ускорения свободного падения. Теперь повернем все горизонтально. Роль ускорения свободного падения возьмет на себя центростремительное. Оно создаст “горизонтальный” вес воды. Из-за разности “глубин” ($2r$) появится горизонтально направленная сила Архимеда.

                    Нормальное ускорение шарика равно

                    $$N=P_g-F_= ma_n -\rho a_n V=(2\rho V -\rho V) \frac<\upsilon^2>=\frac \pi r^3 \rho\frac<\upsilon^2>=\frac \pi r^3 \rho\omega^2(R-r)$$

                    Ответ: $N=\frac \pi r^3 \rho\omega^2(R-r)$

                    Задача 9. Шайбе, покоящейся в нижней точке сферической ямы радиуса $R=5$ м, ударом сообщают горизонтальную скорость $\upsilon=5$ м/с. С какой по величине $P$ силой, шайба действует на дно сразу после завершения удара, если коэффициент трения скольжения шайбы по поверхности ямы $\mu=0,33$? Масса шайбы $m=0,2$ кг.

                    Уравнение по второму закону Ньютона:

                    Распишем в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси:

                    Задача 10. По гладкой проволочной винтовой линии радиуса $R$ с шагом $h$, ось которой вертикальна, скользит с нулевой начальной скоростью бусинка. Найдите величину и направление ускорения $\vec$ бусинки в конце $n$-ного витка.

                    Уравнение по второму закону Ньютона:

                    Посмотрим на спираль сверху: мы увидим окружность, и движущуюся по ней все быстрее бусинку. Тангенциальное ускорение направлено так же, как линейная скорость (если смотреть сверху). Но если смотреть сбоку на нашу спираль, то становится понятно, что линейная скорость направлена чуть вниз (бусинка-то соскальзывает). Следовательно, и тангенциальное ускорение тоже направлено так же.

                    движение по кругу

                    Для тангенциального ускорения теперь можно записать:

                    Давайте определим синус этого угла. Для этого «развернем» спираль (один виток). За время одного оборота тело проходит по спирали путь, равный длине окружности, $2 \pi R$. И за это же время оно успевает спуститься вниз на один шаг спирали – $h$. Поэтому в пространстве тело преодолевает расстояние

                    Запишем тангенциальное ускорение:

                    Теперь определимся с нормальным ускорением: бусинка будет набирать скорость и оно будет меняться. Какой же будет скорость тела на $n-$ ном витке? По закону сохранения энергии

                    Если опять посмотреть на спираль сверху, то мы увидим направленное внутрь ее нормальное ускорение, но если посмотреть сбоку, то станет понятно, что вектор нормального ускорения, так же как и тангенциального, имеет наклон вниз вследствие сползания бусинки. Поэтому

                    С косинусом теперь проще, после разбора синуса:

                    Тогда нормальное ускорение равно

                    Полное ускорение бусинки

                    Задача 11. Брусок, к вертикальной стойке которого на лёгкой нити прикреплён шарик массы $m$, покоится на гладкой горизонтальной поверхности (рис.). Нить с шариком отклонили до горизонтального положения и отпустили. После этого шарик движется в вертикальной плоскости по окружности с нулевой начальной скоростью. Найдите наибольшую величину силы, с которой брусок действует на вертикальную стенку.

                    Наибольшей сила давления будет в тот момент, когда ускорение шарика (полное) будет направлено горизонтально.

                    шарик брусок

                    К задаче 11 – ускорения и силы

                    В проекциях на вертикальную ось:

                    В проекциях на радиальное направление:

                    Из закона сохранения энергии (вся потенциальная энергия, обусловленная разностью высот $h$, перешла в кинетическую):

                    Тогда, подставив (4) в (3), получим

                    Теперь подставим сюда $mg= T\cos$ и получаем

                    Определим теперь нормальное ускорение в этот момент:

                    Полное ускорение шарика:

                    Следовательно, сила, с которой брусок будет давить на боковую стенку, равна силе, с которой шарик действует на брусок

                    Будем решать задачу, считая лабораторную систему отсчета, относительно которой задано движение ракеты и ее осколков, инерциальной. Поскольку ракета летела вертикально и ее взрыв произошел в верхней точке траектории, следует считать, что в этот момент ее скорость стала равной нулю. Поэтому, пренебрегая импульсом сил тяжести по сравнению с импульсом внутренних сил, действовавших на каждый из этих осколков во время взрыва, на основании закона сохранения импульса можно утверждать, что компоненты скорости третьего осколка и , коллинеарные соответственно скорости первого и второго осколков, должны удовлетворять соотношениям:

                    \begin</p> <p>m_1 _1 + m_3 _ = 0\quad > \quad m_2 _2 + m_3 _ = 0, \qquad (1) \end


                    где — масса третьего осколка. Конечно, сказанное верно, если, как это обычно и предполагается в подобных ситуациях, допустимо пренебречь массой образовавшихся при взрыве газообразных продуктов.

                    Поскольку кинетическая энергия всех осколков непосредственно после взрыва по условию задачи равна , а квадрат скорости третьего осколка равен , так как эти компоненты взаимно перпендикулярны, то

                    \begin</p> <p>m_1 _1^ < 2>+ m_2 _2^ < 2>+ m_3 (_^ < 2>+ _^ < 2>) = 2W . \qquad (2) \end

                    Решая совместно систему уравнений (1) - (2), находим искомую массу третьего осколка:

                    \begin</p> <p>m_3 = \mathchoice<\displaystyle\frac<(m_1 _1 )^ + . . _1 _1^ < 2>- m_2 _2^ < 2>>> = 2> \end


                    кг.


                    Тип 30 № 25968

                    С горизонтальной плоскости вначале бросают маленький мячик под углом к горизонту со скоростью υ = 20 м/с. В момент, когда мячик достигает наивысшего положения на своей траектории, стреляют пулей из ружья со скоростью V = 120 м/с в направлении мячика, причём пуля вылетает из той же точки, из которой был брошен мячик (см. рис.). Под каким углом к горизонту надо стрелять, чтобы пуля из ружья попала в мячик? Трением мячика и пули о воздух можно пренебречь. Указание: для численного решения уравнений используйте микрокалькулятор.

                    Какие законы Вы использовали для описания движения тел? Обоснуйте их применение к данному случаю.

                    Обоснование. В условиях данной задачи мяч можно считать материальной точкой. Так как мы можем пренебречь действием силы сопротивления воздуха, то движение мяча происходит только под действием силы тяжести с ускорением свободного падения, которое направлено вертикально вниз и равно 10 м/с 2 . При выборе системы отсчета 0xy ось 0x направлена горизонтально, ось 0y направлена вертикально вверх. Тогда проекция вектора ускорения на ось 0x равна 0, поэтому для описания движения по горизонтали можно использовать законы прямолинейного равномерного движения. Проекция вектора ускорения на ось 0y равна — g, поэтому для описания движения по вертикали можно использовать законы прямолинейного равноускоренного движения. Пуля также считается материальной точкой. Движение пули происходит с большой скоростью, поэтому за малый промежуток времени можно считать ее движение прямолинейным и равномерным и применять законы данного движения.

                    Перейдем к решению.

                    1. Введём прямоугольную систему координат ХОY, где ось ОХ горизонтальна, ось ОY вертикальна, а начало координат находится в точке бросания и выстрела.

                    2. Как следует из формул кинематики для движения тела, брошенного под углом к горизонту, мячик после броска достигнет верхней точки траектории с координатой

                    и сместится по горизонтали со скоростью до координаты

                    3. В этот момент произойдет выстрел — пуля вылетит со скоростью V под углом к горизонту, и оба тела начнут свободно падать вниз с ускорением g.

                    4. Изменения вертикальной координаты y за счёт этого падения будут у обоих тел одинаковы и равны если время t отсчитывать от момента выстрела. Поэтому для простоты расчёта можно перейти в систему отсчёта, свободно падающую вниз с ускорением g.

                    5. В этой системе мячик летит по горизонтальной прямой с постоянной скоростью из начальной точки с координатами в которой он находился при t = 0, до встречи с пулей в момент T. Пуля же летит по прямой с постоянной скоростью V = 120 м/с из начальной точки x0 = y0 = 0 под углом к горизонту до попадания в мячик.

                    6. В момент T координаты мячика и пули должны совпадать: xм =  xп = xв, yм =  yп = yв, и по формулам для кинематики равномерного прямолинейного движения получаем систему уравнений: решая которую (проще  — при помощи микрокалькулятора методом подбора, сразу используя численные значения величин), можно найти

                    Для решения можно также воспользоваться методом подбора угла, при котором будут выполняться соотношения, приведённые в данной системе кинематических уравнений. Для начала заметим, что пути, пройденные пулей и мячом до их столкновения, отличаются в раз. Построим траектории тел на рисунке (см.).

                    Если бы стрелок не делал «упреждения», а целился прямо в мячик под углом то пуля пролетела бы расстояние где

                    и прошла сзади мячика. Чтобы в него попасть, надо уменьшить угол на малый угол который, как видно из рисунка, равен

                    Весь путь пули равен где расстояние пуля проходит за время и

                    Теперь можно заняться подбором значения которое, очевидно, может отличаться от только на малое число градусов. Разумно выбрать и проверить поочерёдно значения 40°, 39°, 38° — при каком из них будут лучше совпадать левые и правые части уравнений из записанной выше системы. Берем, например,

                    — все хорошо согласуется!

                    Легко убедиться, что для и 39° согласие гораздо хуже. Окончательный результат:

                    Читайте также: