Расставить на полке 5 игрушек можно различными способами
Обновлено: 02.05.2024
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Столичный центр образовательных технологий г. Москва
Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца
от 3 170 руб. 1900 руб.
Количество часов 300 ч. / 600 ч.
Успеть записаться со скидкой
Форма обучения дистанционная
1. Сколькими способами можно разместить 5 различных книг на полке? (120)
2. Сколько трехзначных чисел с разными цифрами можно составить из цифр 0, 1, 3, 6, 7, 9? (100)
3. Из 10 членов команды надо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? (36)
5. Выпускники экономического института работают в трех различных компаниях: 17 человек в банке, 23 - в фирме и 19 - в налоговой инспекции. Найдите вероятность того, что случайно встреченный выпускник работает в фирме. (23/59)
6. Мишень представляет собой три круга (один внутри другого), радиусы которых равны 3, 7 и 8 см. Стрелок выстрелил не целясь и попал в мишень. Найдите вероятность того, что он попал в средний круг, но не попал в маленький круг. (5/8)
1. Сколькими способами можно разместить 6 различных книг на полке? (720)
2. Сколько трехзначных чисел с разными цифрами можно составить из цифр 0, 3, 4, 5, 8? (48)
3. Из 8 членов команды надо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? (28)
4. Вычислите: (-36)
5. Выпускники экономического института работают в трех различных компаниях: 19 человек - в банке, 31 - в фирме и 15 - в налоговой инспекции. Найдите вероятность того, что случайно встреченный выпускник работает в банке. (19/65)
6. Мишень представляет собой три круга (один внутри другого), радиусы которых равны 4, 5 и 9 см. Стрелок выстрелил не целясь и попал в мишень. Найдите вероятность того, что он попал в средний круг, но не попал в маленький круг. (1/9)
геометрии стоял крайний справа ? 2. Из натуральных чисел чисел 1,3,5,6,8 выбирают два. Какова вероятность того , что они парные ? 3. Для выборки 10,15,8,7,12,10,8,10,12,10 найдите моду , мадиану и среднее арифметическое
Ответ или решение 1
- Один учебник уже поставлен - геометрия. Осталось 5.
Учебники разные - значит порядок важен.
На первое место можно поставить один из пяти , на второе один из 4 и т.д .
колво = 5 * 4 * 3 * 2 = 120.
- При выборе первого подходящих вариантов 2 из 5. При выборе второго (если первое выбрано именно четное ) - 1 из 4.
Вероятность выбора двух = ( 2 / 5 ) * ( 1 / 4 ) = 1 / 10 .
- Зпишем числа по возростанию 7 , 8 , 8 , 10 , 10 , 10 , 10 , 12 , 12 , 15.
мода - 10 ( наиболее повторяемое число ).
медиана - 10 ( среднее арифметическое между средними числами ).
среднее арифметическое - 9.2 ( сумма всех чисел деленная на их кол-во ).
- Написать правильный и достоверный ответ;
- Отвечать подробно и ясно, чтобы ответ принес наибольшую пользу;
- Писать грамотно, поскольку ответы без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок лучше воспринимаются.
- Списывать или копировать что-либо. Высоко ценятся ваши личные, уникальные ответы;
- Писать не по сути. «Я не знаю». «Думай сам». «Это же так просто» - подобные выражения не приносят пользы;
- Писать ответ ПРОПИСНЫМИ БУКВАМИ;
- Материться. Это невежливо и неэтично по отношению к другим пользователям.
Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.
Рассмотрим частный случай, когда k=n. Соответствующее этому случаю размещение называется перестановкой.
Перестановками из n элементов называются такие комбинации, каждая из которых содержит все n элементов и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов.
Поясним это на следующем примере. Из этих трёх элементов: a, b и c. можно составить шесть перестановок: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Все приведённые перестановки отличаются друг от друга только порядком их расположения.
Число перестановок n различных элементов обозначают символом Pn и равно
Пример 5.1. Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом?
Решение. Будем считать выделенные книги за одну книгу. Тогда уже для шести книг существует P6=6!=720 перестановок. Однако четыре определенные книги можно переставить между собой P4=4!=24 способами. По принципу умножения имеем
P6P4 = 720×24 = 17280.
Пример 5.2. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если каждая цифра в изображении числа встречается один раз?
Решение. Рассматриваемое число может быть представлено как некоторая перестановка из цифр 0, 1, 2, 3, в которой первая цифра отлична от нуля. Так как число перестановок из четырех цифр равно P4=4! и из них 3! перестановок начинаются с нуля, то искомое количество равно
4! – 3! = 3×3! = 3×1×2×3 = 18.
Пример 5.3. Сколькими способами можно посадить за круглый стол n мужчин и n женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?
Решение. Естественно предположить, что как мужчины, так и женщины различимы. Предположим также, что места за столом также различимы. Пронумеруем их. Если женщины займут чётные места n! способами, то мужчины будут занимать нечётные места тоже n! способами и наоборот. По правилу умножения получаем .
Если места за столом неразличимы, то стол можно поворачивать на одно место, то при этом расположение сидящих не изменится (такая ситуация имеет место, например, на карусели). Поскольку имеется n способов расположения стола относительно сидящих, то предыдущий результат нужно разделить на n.
Вопрос. Сколькими способами можно посадить за круглый стол n супружеских пар, если супруги должны сидеть рядом?
5.1. Сколькими способами можно обить 6 стульев тканью, если имеются ткани 6 различных цветов и все стулья должны быть разного цвета.
Ответ: .
5.2. Дачник выделил на своём участке семь грядок для выращивания овощей, т. к. хочет иметь свои помидоры, огурцы, перец, лук, чеснок, салат и кабачки. Каждый вид должен иметь отдельную грядку. Сколькими способами он может расположить грядки для посадки?
Ответ: .
5.3. Пассажирский поезд состоит из трех багажных вагонов и восьми купированных. Сколькими способами можно сформировать состав, если багажные вагоны должны находиться в его начале?
Ответ: .
5.4. В первенстве края по футболу участвуют 11 команд. Сколько существует различных способов распределения мест в таблице розыгрыша, если на первое место могут претендовать только 4 определенные команды?
Ответ:
5.5. Сколькими способами можно упорядочить множество так, чтобы каждое чётное число стояло на чётном месте?
Ответ: .
5.6. Четыре мальчика и четыре девочки рассаживаются в ряд на восемь подряд расположенных мест, причем мальчики садятся на четные места, а девочки – на нечетные. Сколькими способами они могут это сделать?
Ответ: .
5.7. Сколькими способами можно посадить за круглый стол трех мужчин и трех женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?
Ответ: .
5.8. На собрании должны выступить 5 человек: А, Б, В, Г, Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов, если Б не должен выступать до того, как выступил А? Решите эту же задачу, если Б должен выступить сразу после А.
При перестановке букв в слове «толпа» получается P5 = 5! = 120 «слов». Если же переставлять буквы в слове «топот», то получится меньше различных «слов», потому что ни перестановка двух букв «т», ни перестановка двух букв «о» не изменяют «слова»; всего перестановок в данном случае будет . Мы имеем здесь дело с перестановками с повторениями.
Общую задачу сформулируем следующим образом.
Имеется n элементов k различных типов: n1 элементов первого типа, n2 элементов второго типа, …, nk элементов k-го типа, . Сколько можно составить различных перестановок из этих элементов?
Число перестановок c повторениями обозначают . Сколько же их? Если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы n!. Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, получится меньшее число перестановок. В первой группе элементы (первого типа) можно переставлять друг с другом n1! способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то перестановки ничего не меняют. Точно также ничего не меняют n2! перестановок элементов во второй группе и т. д. Перестановки элементов в разных группах можно делать независимо друг от друга. Поэтому (из принципы умножения) элементы можно переставлять друг с другом способами так, что она остаётся неизменной.
Число различных перестановок с повторениями, которые можно составить из данных элементов, равно
, (11.1) где .
Замечание. Отметим, что формула числа сочетаний из n элементов по k элементов совпадает с формулой для числа перестановок с повторениями из k элементов одного типа и n–k элементов другого типа:
.
Пример 11.1. Сколькими способами можно нанизать на нить 4 зеленых, 5 синих и 6 красных бус?
Решение. Речь идет об отыскании числа перестановок с повторениями, которые можно сделать из k1=4 элементов первого типа (зеленых бус), k2=5 элементов второго типа (синих бус) и k3=6 элементов третьего типа (красных бус). По формуле (6) получаем
.
Пример 11.2. У мамы было 2 одинаковых яблока, 3 одинаковых груши и 4 одинаковых апельсина. Каждый день она давала ребенку по одному фрукту. Сколькими способами она могла это сделать?
Решение. Данная задача есть задача на отыскание числа перестановок с повторениями:
.
Пример 11.3. Сколько различных браслетов можно сделать из пять одинаковых изумрудов, шести одинаковых рубинов и семи одинаковых сапфиров (в браслет входят все 18 камней)?
Решение. Камни можно переставлять P(5, 6, 7) способами. При циклических перестановках и при зеркальном отражении браслет остается неизменным. В результате получаем
.
Пример 11.4. Сколько способами можно переставлять буквы слова «огород» так, чтобы: а) три буквы «о» не стояли рядом? б) если запрещается, чтобы две буквы «о» стояли рядом?
Решение. а) Буквы данного слова можно переставлять P(3,1,1,1) способами. Если три буквы «о» стоят рядом, то их можно считать за одну букву. Тогда буквы можно переставлять 4! Способами. Вычитая этот результат из предыдущего, получим
.
Б) Сначала расставляем согласные (3! способов). Для трёх букв «о» остаётся 4 места, и их можно расставить способами. Всего получаем способа.
11.1. Сколькими способами можно расположить в ряд две зелёные и четыре красные лампочки?
Ответ: .
11.2. Десять человек надо разбить на три группы соответственно по 2, 3, 5 человек в группе. Сколькими способами можно это сделать?
Ответ: .
11.3. Сколькими способами можно упаковать девять различных книг в трёх бандеролях соответственно по два три, четыре книги в каждой бандероли?
Ответ: .
11.4. Группу командировочных из восьми человек требуется расселить в три комнаты, из которых две трёхместные и одна двухместная. Сколько вариантов расселения возможно?
Ответ: .
11.5. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в следующих исходных словах: а) академия, б) электротехника, в) молокопродукт?
Ответ: .
11.6. Сколькими способами можно разделить 12 предметов между тремя студентами, чтобы каждому досталось ровно по четыре предмета?
Ответ: .
11.7. Для премий на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 4 экземпляра другой и 8 экземпляров третьей. Сколькими способами могут быть распределены эти премии между 30 участниками олимпиады, если каждому вручается не более одной книги?
Ответ: .
11.8. Сколькими способами можно переставить буквы слова «обороноспособность» так, чтобы две буквы «о» не шли подряд?
Ответ: .
11.9. Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?
Ответ: Гласные можно переставлять P(2,1,1)=12 способами, Аналогично, P(2,1,1)=12 способами можно расставить согласные буквы. Если согласные уже расставлены, то для гласных останется 5 мест. Поэтому места для них можно выбрать способами. Всего способов.
В шкафу 5 полок, на каждую можно поставить до 20 книг.
Сколькими способами можно расставить 20 книг в шкафу, если важна только последовательность книг, а некоторые полки могут оставаться пустыми?
Мой вариант:
С из 24 по 4 * 20!
Сколькими способами можно расставить книги?
На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом 1-й и.
Сколькими способами можно расставить книги?
Помогите решить пожалуйста вот такую задачу На полку нужно установить 17 разных книг, из которых.
Сколькими способами можно расставить книги на полке?
Сколькими способами можно расставить на книжной полке 5 томов произведений А.П.Чехова,располагая их.
Сколькими способами можно расставить 8 спортсменов
Доброй ночи! Задание: Сколькими способами можно расставить 8 спортсменов на 3 одинаковых дорожках.
А мой вариант
5 20 *20!
Добавлено через 9 минут
Нет погорячился, повторно считаются варианты.
Можете, пожалуйста, объяснить, почему у Вас получился такой ответ?
Я рассуждала так:
Всего 5 полок. Если расположить их в один ряд, то можно ввести условные перегородки между каждой из них – всего их будет 4 (5-1).
Тогда получается, что нужно выбрать места для этих самых перегородок. То есть: С из 24 по 4. При этом по условию книги разные, значит нужно домножить на 20!
И всё же мне кажется, что я что-то упускаю.
Я рассуждал так
Ставим 20 книг в ряд (пока считая их одинаковыми). Между книгами, а также справа и слева от ряда нужно поставить 4 закладки, которые разобьют книги по полкам.
Т.о. определяется число вариантов размещения 4-ех одинаковых шариков в 21 корзине.
Ну а потом придаем индивидуальность книгам умножая на 20!
Это рассуждение годится для случая запрета пустых полок. Тогда задача раставления перегородок эквивалентна определению количества решений уравнений X1+ X2+. Xm = n (n=20 m=5, Xi > 0) Решение, да Сn-1 m-1
Но у вас условие Xi >= 0 (некоторые полки могут быть пустыми) Есть разные способы решения этой задачи. Мне же нравится сведение ее к предыдущей. Сделаем замену Xi = Yi - 1
Получим уравнение Y1 + Y2 + +Ym = n + m. Ответ: Cn+m-1 m-1 = C24 4
Получилось ровно как у вас.
Тут у нас разночтения с перегородками, но считаем-то мы с вами одинаково.
Добавлено через 3 минуты
SSC, DubFection, Если будете решать проблему голосованием, имейте в виду, я - за DubFection,
Добавлено через 10 минут
Кстати, подход с введением новых переменных позволяет решить задачу, если имеется ограничение снизу на количество книг на каких-то полках.
Читайте также: