Семь детских игрушек выбираются из игрушек четырех видов сколькими способами это можно сделать

Обновлено: 19.05.2024

Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами….

К комбинаторным задачам относятся также задачи построения магических квадратов, задачи расшифровки и кодирования.

Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков 17 века Блеза Паскаля (1623–1662) и Пьера Ферма (1601–1665) по теории азартных игр. Эти труды содержали принципы определения числа комбинаций элементов конечного множества. С 50-х годов 20 века интерес к комбинаторике возрождается в связи с бурным развитием кибернетики.

Основные правила комбинаторики – это правило суммы и правило произведения.

Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать n + m способами.

Например, Если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать 5 + 6 = 11 способами.

Если элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то пару А и В можно выбрать n • m способами.

Например, если есть 2 разных конверта и 3 разные марки, то выбрать конверт и марку можно 6 способами (2 • 3 = 6).

Правило произведения верно и в том случае, когда рассматривают элементы нескольких множеств.

Например, если есть 2 разных конверта, 3 разные марки и 4 разные открытки, то выбрать конверт, марку и открытку можно 24 способами (2 • 3 • 4 = 24).

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называется n – факториалом и обозначается символом n!

Например, 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120.

Принято считать 0! равным 1.
Число перестановок из n равна n!

Например, если есть 3 шарика – красный, синий и зелёный, то выложить их в ряд можно 6 способами (3 • 2 • 1 = 3! = 6).

Иногда комбинаторная задача решается с помощью построения дерева возможных вариантов.

Например, решим предыдущую задачу о 3-х шарах построением дерева.

Практикум по решению задач по комбинаторике.

ЗАДАЧИ и решения

1. В вазе 6 яблок, 5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода?

6 + 5 + 4 = 15

Ответ: 15 вариантов.

2. Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2 алые и 4 жёлтые розы?

3. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С ведут три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

4. Сколькими способами можно составить пару из одной гласной и одной согласной букв слова «платок»?

гласные: а, о – 2 шт.
согласные: п, л, т, к – 4 шт.

2 • 4 = 8

Ответ: 8 способами.

5. Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек?

6. В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно заказать?

Ответ: 28 вариантов.

7. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 3 способа
3 цифра – 3 способа

3 • 3 = 9

Ответ: 9 различных двузначных чисел.

8. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 2 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 2 способа

2 • 2 • 2 = 8

Ответ: 8 различных чисел.

9. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 4 способа

3 • 4 = 12

Ответ: 12 различных чисел.

10. Сколько существует трёхзначных чисел, у которых все цифры чётные?

Чётные цифры – 0, 2, 4, 6, 8.

1 цифра – 4 способа
2 цифра – 5 способов
3 цифра – 5 способов

4 • 5 • 5 = 100

Ответ: существует 100 чисел.

11. Сколько существует четных трёхзначных чисел?

1 цифра – 9 способов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2 цифра – 10 способов (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)

9 • 10 • 5 = 450

Ответ: существует 450 чисел.

12.Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из трёх различных цифр 4, 5, 6?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 1 способ

3 • 2 • 1 = 6

Ответ: 6 различных чисел.

13. Сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы А, В, С, D?

1 вершина – 4 способа
2 вершина – 3 способа
3 вершина – 2 способа

4 • 3 • 2 = 24

Ответ: 24 способа.

14. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,при условии, что ни одна цифра не повторяется?

1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа

5 • 4 • 3 = 60

Ответ: 60 различных чисел.

15. Сколько различных трёхзначных чисел, меньших 400, можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если любая из этих цифр может быть использована только один раз?

1 цифра – 2 способа
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа

2 • 4 • 3 = 24

Ответ: 24 различных числа.

16. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трёх горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал шести цветов?

1 полоса – 6 способов
2 полоса – 5 способов
3 полоса – 4 способа

6 • 5 • 4 = 120

Ответ: 120 способов.

17. Из класса выбирают 8 человек, имеющих лучшие результаты по бегу. Сколькими способами можно составить из них команду из трёх человек для участия в эстафете?

1 человек – 8 способов
2 человек – 7 способов
3 человек – 6 способов

8 • 7 • 6 = 336

Ответ: 336 способов.

18. В четверг в первом классе должно быть четыре урока: письмо, чтение, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?

1 урок – 4 способа
2 урок – 3 способа
3 урок – 2 способа
4 урок – 1 способ

4 • 3 • 2 • 1 = 24

Ответ: 24 варианта.

19. В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки разные?

1 урок – 8 вариантов
2 урок – 7 вариантов
3 урок – 6 вариантов
4 урок – 5 вариантов
5 урок – 4 варианта

8 • 7 • 6 • 5 • 4 = 6720

Ответ: 6720 вариантов.

20. Шифр для сейфа составляется из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра?

1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
4 цифра – 2 способа
5 цифра – 1 способ

5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120

Ответ: 120 вариантов.

21. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов?

6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720

Ответ: 720 способов.

22. Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с нуля и 9?

1 цифра – 8 способов
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 10 способов
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 10 способов
6 цифра – 10 способов
7 цифра – 10 способов

8 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 = 8.000.000

Ответ: 8.000.000 вариантов.

23. Телефонная станция обслуживает абонентов, у которых номера телефонов состоят из 7 цифр и начинаются с 394. На сколько абонентов рассчитана эта станция?

№ телефона 394

10 • 10 • 10 • 10 = 10.000

Ответ: 10.000 абонентов.

24. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну перчатку на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?

Левые перчатки – 6 способов
Правые перчатки – 5 способов (6 перчатка того же размера, что и левая)

6 • 5 = 30

Ответ: 30 способов.

25 . Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляют пятизначные числа, в которых все цифры разные. Сколько таких чётных чисел?

5 цифра – 2 способа (две чётные цифры)
4 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
1 цифра – 1 способ

2 • 4 • 3 • 2 • 1 = 48

Ответ: 48 чётных чисел.

26. Сколько существует четырёхзначных чисел, составленных из нечётных цифр и делящихся на 5?

Нечётные цифр – 1, 3, 5, 7, 9.
Из них делятся на 5 – 5.

4 цифра – 1 способ (цифра 5)
3 цифра – 4 способа
2 цифра – 3 способа
1 цифра – 2 способа

1 • 4 • 3 • 2 = 24

Ответ: 24 числа.

27. Сколько существует пятизначных чисел, у которых третья цифра – 7, последняя цифра – чётная?

1 цифра – 9 способов (все, кроме 0)
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 1 способ (цифра 7)
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)

9 • 10 • 1 • 10 • 5 = 4500

Ответ: 4500 чисел.

28. Сколько существует шестизначных чисел, у которых вторая цифра – 2, четвёртая – 4, шестая – 6, а все остальные – нечётные?

1 цифра – 5 вариантов (из 1, 3, 5, 7, 9)
2 цифра – 1 вариант (цифра 2)
3 цифра – 5 вариантов
4 цифра – 1 вариант (цифра 4)
5 цифра – 5 вариантов
6 цифра – 1 вариант (цифра 6)

5 • 1 • 5 • 1 • 5 • 1 = 125

Ответ: 125 чисел.

29.Сколько различных чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр 8 и 9?

Однозначных – 2
Двузначных – 2 • 2 = 4
Трёхзначных – 2 • 2 • 2 = 8
Четырёхзначных – 2 • 2 • 2 • 2 =16
Пятизначных – 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32
Шестизначных – 2 • 2 • 2 • 2 2 • 2 = 64

Всего: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

Ответ: 126 чисел.

30. В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Капитан – 11 способов
Заместитель – 10 способов

11 • 10 = 110

Ответ: 110 способов.

31.В классе учатся 30 человек. Сколькими способами из них можно выбрать старосту и ответственного за проездные билеты?

Староста – 30 способов
Ответ. за билеты – 29 способов

30 • 29 = 870

Ответ: 870 способов.

32. В походе участвуют 12 мальчиков, 10 девочек и 2 учителя. Сколько вариантов групп дежурных из трёх человек (1 мальчик, 1 девочка, 1 учитель) можно составить?

12 • 10 • 2 = 240

Ответ: 240 способов.

33. Сколько комбинаций из четырёх букв русского алфавита (в алфавите всего 33 буквы) можно составить при условии, что 2 соседние буквы будут разными?

1 буква – 33 способа
2 буква – 32 способа
3 буква – 32 способа
4 буква – 32 способа

33 • 32 • 32 • 32 = 1.081.344

Ответ: 1.081.344 комбинаций.

До сих пор мы рассматривали случаи, когда все объекты были попарно различны. Если же часть предметов набора будут совпадать число перестановок, сочетаний и размещений будет вычисляться по-другому.

//Перестановки с повторениями.

Если некоторые из переставляемых предметов одинаковы, то суммарное число получается меньше, т. к. часть комбинаций совпадает друг с другом.

Например, требуется определить различные размещения букв в слове Миссисипи. Предположим сначала, что все буквы различны. В таком случае существовало бы 11! способов размещения 11 букв. Теперь обратим внимание, что буква "и" встречается четыре раза. Тогда все 11! комбинаций можно разбить на группы, элементы которых буду отличаться только расположением буквы «и» (наппр: «М и₁ с с и₂ с и₃ п и₄ », «М и₂ с с и₁ с и₃ п и₄ ». ). В каждой группе будет по 4! комбинаций (по числу перестановок буквы и) . Сейчас они подсчитаны, как различные, хотя это не так. Значит каждым 4! комбинациям из 11! соответствует только одна перестановка. Тогда число перестановок, с учётом того, что все буквы «и» одинаковы будет 11!/4! . Размышляя аналогично относительно остальных повторяющихся букв (с — входит 3 раза — делить на 3. ), получаем

Рассмотрим общий случай. Пусть у нас есть объекты k различных типов и из них n1 объектов первого типа, n2 объектов второго типа … nk объектов типа №k. Рассуждая таким же образом, как и при решении предыдущей задачи задачи, получим формулу для подсчёта числа перестановок с повторениями.

//Размещения с повторениями.

Говорят, что рассматриваются размещения с повторениями, когда имеется набор объектов нескольких типов, каждый тип содержит все себе достаточно объектов заполнения всех мест размещения и порядок заполнения мест важен.

Например, необходимо сколько номеров автобусных билетов можно составить, если номер каждого билета состоит из 4-х цифр от 1 до 7. Заметим, что каждую цифру можно использовать в номере билета неограниченное число раз (номера типа 7777 и 7772 допустимы). Порядок цифр в номере важен (номера 7772 и 2777 различны). Каждую цифру можно выбрать 7 способами. Т. к. выбор каждой следующей следующей цифры не зависит от результата выбора предыдущей, для подсчёта всех возможных вариантов воспользуемся правилом произведения. Получим

Теперь, рассуждая аналогично для m разновидностей объектов и n мест размещения получим формулу для размещений с повторениями

//Сочетания с повторениями.

Предположим, что комитет состоит из восьми человек. При принятии решения они голосуют "за", "против" или воздерживаются от голосования. Сколько возможных исходов голосования по данному решению? Если интересует вопрос, кто и как голосовал, тогда речь идет о числе перестановок, когда для каждого голосующего имеются три варианта ответа, что дает 3^8 возможных исходов голосования. Допустим, что нас интересует только общий результат голосования. голосование можно изобразить, например, в виде ЗЗППВВВВ, где два голоса "за", два "против" и четыре воздержавшихся. Далее можно строить разбиение голосов, например, 33|ПП|ВВВВ. Поскольку порядок расположения голосов понятен, можно перейти к записи хх|хх|хххх, изображающей 33|ПП|ВВВВ. Таким образом, запись хх||хххххх будет представлять два голоса "за" и четыре воздержавшихся, а запись хххххххх|| будет соответствовать голосованию "за" всех восьми членов комитета. Таким образом, установлено

взаимно однозначное соответствие между возможными исходами голосования и различными способами размещения восьми знаков х и двух знаков |. Но это ни что иное, как количество способов выбора двух мест из десяти для знака | или, что эквивалентно, количество способов выбора восьми мест из десяти для размещения знака х. Следовательно, существуют

Предположим, что n объектов выбираются из k типов объектов с неограниченным повторением. Пусть аi — объект типа i, тогда, как и в предыдущей задаче можно записать:

Поскольку место расположения каждого типа понятно, то выборку можно записать в виде

xxx. xx|xxx. xx|. xxx. xx

Заметим, что разделителей | на один меньше, чем количество типов. Таким образом, имеем n объектов и k - 1 разделителей, образующих и n + k - 1 мест для размещения х или |. Поскольку существует С(n + k - 1, n) = С(n + k - 1, k - 1) способов выбора места для знака х или, что эквивалентно, для знака |, то существуют C(n + k - 1, n) = С(n + k - 1, k - 1) различных способов выбора n из k типов объектов с неограниченным повторением.

При решении конкретной задачи надо сначала выяснить, не решается ли она непосредственно применением правил суммы или произведения. Если решение окажется затруднительным, то следует составить математическую схему решения задачи, определить, допустимы, ли повторения и выяснить о какой комбинации в ней идёт речь.

Задачи

Сколькими способами на шахмотной доске можно расположить 2 белых и 2 чёрных ладьи так, ч.б. они не «били» друг друга ( мат олимпиада 8класс :) ) (5-10 мин)

64 * ( 14*С((64 - 22), 2) + (64 - 15) * С(36, 2) )

Человек покупает 12 игрушек для своих четверых детей. Сколькими способами можно распределить игрушки, что-бы всем детям досталось поровну (4 шт).

Для первого ребёнка существует С(12,3) способов выбрать игрушки. Для второго С(9,3), для третьего С(6, 3), для четвёртого С(3,3) =1. И по правилу произведения Q=С(12,3)*С(9,3)*С(6, 3)*1

Укротитель хищных зверей хочет вывести на арену колонной 5 львов и 4 тигра, при этом нельзя, что бы два тигра шли друг за другом. Сколькими способами это можно сделать

Поставим сначала всех львов так, чтобы между ними был промежуток. Это можно сделать 5! Между львами получили 6 свободных мест. Теперь только осталось распределить эти места между 4 тиграми А(6,4) = 360. Искомое число способов по правилу произведения А(6,4)*5!

Сколько существует чисел, меньших 10000 и таких, что сумма цифр равна 12?

Если в числе две значащие цифры.

1+1+1+1+1 / 1+1+1+1+1+1+1 — пример 2-х значащих цифр (57)

Число различных положений знака / - С(10,1)=10

Всего таких чисел С(10,1)*3

Если в числе три значащие цифры.

1+1+1+1+1 +1 / 1+1+1 / 1 +1+1 — пример 2-х значащих цифр (633)

Число различных положений знака / - С(10,2)

Всего чисел С(10,1)*3+С(10,2)*2+С(10,3)

Если многоугольник имеет n сторон, то сколько у него диагоналей?

Т.е. сколькими способами можно провести диагональ? Кажущаяся на первый взгляд несколько непонятной задача решается просто: каждая диагональ эквивалентна сочетанию двух вершин многоугольника. При этом не забываем о том, что стороны многоугольника также входят в общее число сочетаний вершин по 2.

Т.е. число диагоналей равно числу сочетаний вершин по 2: C(n,2) — n.

У профессора Кренка в группе 20 студентов. Согласно критерию, известному лишь ему одному, он решил поставить две оценки А, три оценки В, десять С, три D и две оценки F. Сколькими способами он может поставить оценки студентам?

Судя по всему, этот критерий — это гауссово распределение со средним где-то в районе тройбана (C) ;-) Кроме того, кого-то мне этот Кренк напоминает.

Задача на перестановки с повторениями. Общее число их вычисляем следующим образом:

Сколько существует решений уравнения

Эта задача эквивалентна следующей:

Нужно расставить три разделителя на место плюсов. Число способов равно C(12,3) = 220

Показать, что коэффициент при в разложении равен C(n,m)

Для получения слагаемого нужно при перемножении скобок взять a ровно m раз. После приведения подобных членов коэффициент при этом слагаемом будет равен числу способов такого выбора. Считая все скобки (и выбираемые из них символы) разными, получаем, что искомое количество способов равно как раз C(n,m)

Задача 1. Определите сколькими способами можно выбрать 10 шаров из 9 красных, 7 черных, 6 белых и 11 синих шаров.

Решение

Если считать, что шаров бесконечно, то таких комбинаций . Однако у нас шаров некоторых цветов < 10. Значит из полученного числа надо удалить комбинации.

1) где более 9 красных шаров. То есть 10 - такая комбинация одна.

2) где более 7 черных шаров. То есть от 8 до 10 . Таких комбинаций - заполняем 8 мест черными , а остальные места шарами любого цвета.

3) где более 6 белых шаров. То есть от 7 до 10 . Таких комбинаций - заполняем 7 мест белыми , а остальные места шарами любого цвета.

Задача 2. Сколько нечетных целых чисел находятся между числами 100 и 1000?

Решение

Пусть S — множество нечетных целых чисел между 100 и 1000. Для пусть - подмножество множества S такое, что i является последней цифрой его элементов. Для каждого i существуют 9 вариантов выбора первой цифры и 10 вариантов выбора второй цифры, так что каждое множество S_i содержит 90 элементов. . поэтому между 100 и 1000 есть 450 нечетных чисел.

Задача 3. Берутся все перестановки из 5 чисел 1, 2, 3, 4, 5. Во скольких из них ни одно число не стоит на своем месте?

Решение проводится методом включения/исключения. Обозначим через ( ) свойство перестановки, заключающееся в том, что число стоит на своем месте, а через - количество перестановок, обладающих этим свойством. Точно так же через обозначим количество перестановок, одновременно обладающих свойствами и и т. д. Наконец, через обозначим количество перестановок, не обладающих ни одним из свойств (1), (2), (3), (4), (5), т. е. перестановок, в которых ни одно число не стоит на своем месте.

По формуле включений и исключений имеем:

Здесь - общее число всех перестановок из 5 элементов.

В данном случае задача облегчается тем, что свойства (1), (2), (3), (4), (5) совершенно равноправны. Поэтому ясно, например, что Точно так же имеем В последнем случае число пар равно Аналогично имеем троек, четверок и пятерок.

Поэтому предыдущую формулу можно переписать так:

Задача 4.Сколько существует различных четырехзначных положительных чисел, если, по крайней мере, две цифры в числе совпадают? Числа, начинающиеся с нуля (например, 0001) не считаем четырехзначными.

Решение.

Всего четырехзначных целых чисел существует 9000. Определим, сколько существует четырехзначных чисел с различными цифрами. Очевидно, первую цифру можно выбрать 9 способами. Вторую цифру — также 9 способами (т.к. появляется возможность выбрать 0), третью — 8 способами, четвертую — 7 способами. Если вычесть число четырехзначных чисел с разными цифрами из общего числа четырехзначных чисел, получим искомое число:

Задача 5.По пустыне идет караван из 9 верблюдов. Путешествие длится много дней, и наконец, всем надоедает видеть впереди себя одного и того же верблюда. Сколькими способами можно переставить верблюдов так, чтобы впереди каждого верблюда шел другой, чем раньше?

Решение. Такие перестановки наверняка существуют (например, можно переставить верблюдов в обратном порядке). Для решения задачи перенумеруем верблюдов в первоначальном порядке от конца каравана к началу числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Таким образом, последний верблюд получает номер 1, предпоследний - 2 и т д. Нам нужно найти все перестановки из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, в которых не встретится ни одна из пар (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9). Для решения снова используем формулу включений и исключений. Сосчитаем сначала, во сколько перестановок входит пара (1,2). Мы можем считать эту пару за один элемент. Поэтому общее число элементов будет 8, а не 9, и число перестановок, содержащих (1,2), равно Тот же результат получаем для всех 8 пар.

Теперь рассмотрим перестановки, содержащие данные две пары. В этом случае объединяем элементы, входящие в каждую из этих парю. При этом если обе пары содержат общий элемент, то объединяем все три элемента. Иначе объединяем элементы по 2. В обоих случаях после объединения получаем 7 новых элементов, которые можно переставить способами. А две пары можно выбрать способами.

Совершенно так же доказывается, что количество перестановок, содержащих данные k пар, равно По формуле включений и исключений получаем:

Задача 6.

64 * ( 14*С((64 - 22), 2) + (64 - 15) * С(36, 2) )

Задача 7.

Задача 8.

1. В кондитерском отделе имеются пирожные 4 сортов: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно совершить покупку из 7 пирожных?

2. Сколькими способами 6 одинаковых конфет можно разделить между тремя детьми?

3. Сколькими способами k одинаковых шаров можно разложить по n различным урнам?

4. На фестиваль прибыла молодежь 5 континентов. Потребовалось создать делегацию из 8 человек, но так, чтобы в нее входили представители всех континентов. Сколькими способами это может быть сделано?

Разные задачи

1. На первой из двух параллельных прямых лежит 10 точек, на второй – 20. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

2. На первой из двух параллельных прямых лежит 10 точек, на второй – 20. Проводятся всевозможные отрезки, соединяющие точки первой и второй прямой. Сколько существует точек (внутренних) пересечения этих отрезков?

3. Сколькими способами можно рассадить за круглым столом четырех мужчин и четырех женщин, чтобы рядом не сидели двое мужчин или две женщины?

4. Из 12 лотерейных билетов, среди которых находятся 4 выигрышных, берут 6 билетов. Сколькими способами можно взять 6 билетов, чтобы среди них находился хотя бы один выигрышный?

5. Дано n различных чисел. Сколько последовательностей длины k можно составить, используя только эти числа?

6. Дано n различных чисел. Сколько неубывающих последовательностей длины k можно составить, используя только эти числа?

7. Дано n различных чисел. Сколько возрастающих последовательностей длины k можно составить, используя только эти числа ?

ВАРИАНТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

ВАРИАНТ 1

1. В автомобиле 7 мест. Каким числом способов 7 человек могут расположиться в автомобиле, если место водителя могут занять только трое из них?

2. Для несения почетного караула из 10 человек могут быть приглашены офицеры пехотных войск, авиации, артиллерии и морского флота. Сколькими способами можно избрать состав почетного караула?

3. Сколько 7-значных телефонных номеров не содержат других цифр, кроме 5, 3, 2?

ВАРИАНТ 2

1. Сколькими способами семья из 4 человек может расположиться за обеденным столом с 6 различными местами для сидения?

2. У одного человека имеется 11 книг, а у другого – 15. Все книги разные. Каким числом способов они могут обменяться 3 книгами?

3. Сколькими способами можно разложить 100 одинаковых гвоздей по 5 коробкам?

ВАРИАНТ 3

1. Имеются 3 экземпляра одной книги, 4 – другой и 8 – третьей. Каким числом способов эти книги можно вручить 15 детям, чтобы каждому досталось по одной книге?

2. Сколько букетов из 11 гвоздик можно составить, имея гвоздики 3 цветов (гвоздики одного цвета неотличимы друг от друга)?

3. Сколькими способами можно распределить 7 преподавателей на проверку 20 заочных работ, если каждая работа должна проверяться одним преподавателем?

ВАРИАНТ 4

1. Сколькими способами 5 человек могут занять места в маршрутном такси с 14 посадочными местами?

2. Каким числом способов можно купить 10 тетрадей, если в продаже имеются тетради 5 типов?

3. У дедушки есть 5 различных конфет, которые он дает своим 8 внукам, причем каждый получает или одну конфету, или ничего. Сколькими способами это можно сделать?

ВАРИАНТ 5

1. На конференции должны выступить докладчики А, В, С и D, причем В не может выступать раньше А. Сколькими способами можно установить очередность выступлений?

2. У бабушки есть 5 различных фруктов, которые она дает своим 8 внукам. Сколькими способами это можно сделать?

3. На полке стоят 12 книг в черных переплетах и 8 книг в красных переплетах, причем все книги разные. Сколькими способами можно расставить книги так, чтобы книги в черных переплетах стояли рядом?

ВАРИАНТ 6

1. Сколько имеется перестановок цифр 0, 1, 2, …, 9 в которых цифра 1 следует непосредственно за цифрой 0?

2. Для работы в школьном саду необходимо выбрать группу из 15 учеников (девяти-, десяти- и одиннадцатиклассников). Сколькими способами это можно сделать?

3. Прямоугольная сетка состоит из 5 горизонтальных и 6 вертикальных линий. Сколько прямоугольников в этой сетке?

ОТВЕТЫ

Вариант 1. (1) ; (2) ; (3) .

Вариант 2. (1) ; (2) ; (3) .

Вариант 3. (1) ; (2) ; (3) .

Вариант 4. (1) ; (2) ; (3) .

Вариант 5. (1) ; (2) ; (3) .

Вариант 6. (1) ; (2) ; (3) .

Перечень документов по охране труда. Сроки хранения: Итак, перечень документов по охране труда выглядит следующим образом.

Опасности нашей повседневной жизни: Опасность — возможность возникновения обстоятельств, при которых.

Средневековье: основные этапы и закономерности развития: Эпоху Античности в Европе сменяет Средневековье. С чем связано.

Эталон единицы силы электрического тока: Эталон – это средство измерения, обеспечивающее воспроизведение и хранение.

Поиск по сайту

№ 1. Имеем 4 разных конверта без марок и 3 разные марки. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для отправления письма?

34 = 12 (способов)

Ответ: 12 способов.

№ 2. В коробке находится 10 белых и 6 черных шаров.

1) Сколькими способами из коробки можно вынуть один шар любого цвета?

2) Сколькими способами из коробки можно вынуть два разноцветных шара?

№ 3. В корзине лежат 12 яблок и 9 апельсинов (все разные). Петя выбирает или яблоко, или апельсин, после него из оставшихся фруктов Надя выбирает яблоко и апельсин. Сколько возможно таких выборов? При каком выборе Пети у Нади больше возможностей выбора?

Если Петя берёт 1 яблоко, то у Нади больше возможностей для выбора.

Ответ: 401. Петя берёт 1 яблоко.

№ 4. Ученику необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами может быть составлено расписание его экзаменов?

№ 5. Сколькими способами может расположиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

№ 6. Из 30 участников собрания необходимо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

№ 7. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

№ 8. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если есть материал 7 разных цветов?

= = = = 5 = 210 (способов).

№ 9. Сколькими способами организаторы конкурса могут определить, кто из 15 его участников будет выступать первым, вторым и третьим?

= = =13 = 2780 (способов).

№ 10. На плоскости отметили 5 точек. Их необходимо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать, если в латинском алфавите 26 букв?

№ 11. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9,если цифры в числе не повторяются?

= = = 2 = 120 (способов).

№ 12*. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8,если цифры в числе не повторяются?

№ 13. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные и первая цифра отлична от нуля?

№ 14. Сколько разных трехзначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы полученные числа были: 1) четными; 2) кратными 5?

№ 15*. Решите уравнение: 1) =20; 2) = 6.

х 2 -3х -4х + 12 – 6 = 0

х 2 – 7х + 6 = 0 х₁ = 6, х₂ = 1 (исключить).

№ 1. Сколькими способами 4 мужчины могут расположиться на четырехместной скамейке?

Решение: Р₄ = 4! = 1 = 24 (способа)

№ 2. Курьер должен разнести пакеты в 7 разных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?

№ 3. Сколько существует выражений, тождественно равных произведению abcde, которые получаются из него перестановкой множителей?

Решение: Р₅ = 5! =1 (выражений)

№4. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.

Решение:Р₃ = 3! = 1(вариантов)

№ 5. Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр:

1) 1, 2, 5, 6, 7, 8; 2) 0, 2, 5, 6, 7, 8?

Ответ: 1) 720; 2) 600.

№ 6. Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без повторения цифр), есть такие, которые: 1) начинаются с цифры 3; 2) кратны 5?

№ 7. Найдите сумму цифр всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 (без повторения цифр в числе).

№ 8. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, иностранный язык, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли подряд?

№ 9*. Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг — это сборники стихотворений, чтобы сборники стихотворений стояли рядом в случайном порядке?

№ 10. Найдите, сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10. Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки — на четных?

Р₁₀ = 10! =1 - расположения 5 мальчиков и 5 девочек в любом месте и в любом ряду.

Если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки — на четных, то таких способов будет равно: Р₅₅ = 5!5! = 1

Ответ: 3628800; 14400.

№ 1. В классе 7-м учащихся успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

№ 2. В магазине “Филателия” продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение: = = = = 56 (способов).

№ 3. Ученикам дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

№ 4. На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если: 1) словарь ему нужен обязательно; 2) словарь ему не нужен?

Решение: из 3 книг, которые надо выбрать – нужны 1 словарь и 2 художественные = Р₁ = 1! = 1 (способ) 2 художественные из 11 художественных можно выбрать = = = = 55 (способов).

Тогда 1 словарь и 2 художественные книги можно выбрать

Если не нужен словарь, то

№ 5. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории необходимо выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?

№ 6. Во время встречи 16 человек пожали друг другу руки. Сколько всего сделано рукопожатий?

№ 7. Группа учащихся из 30 человек решила обменяться фотографиями.

Сколько всего фотографий необходимо было для этого?

№ 8. Сколько перестановок можно сделать из букв слова “Харьков”?

Решение: Р₇ – Р₆ = 7! – 6! = 6!(7-1) = 6! = 1

№ 9. Бригадир должен откомандировать на работу бригаду из 5 человек.

Сколько бригад по 5 человек в каждой можно организовать из 12 человек?

№ 10. Сколькими разными способами собрание из 40 человек может выбрать из числа своих членов председателя собрания, его заместителя и секретаря?

№ 11. Сколько прямых линий можно провести через 8 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой?

Решение: = = = = 28 (прямых линий)

№ 12. Сколько разных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без их повторения?

Решение: = = = 2(разных пятизначных числа)

№ 13. Определите число всех диагоналей правильного: 1) пятиугольника; 2) восьмиугольника; 3) двенадцатиугольника; 4) пятнадцатиугольника.

Решение: общая формула вычисления диагоналей у n- угольника

n=5, то = 10 (диагоналей)
n=12, то = 66 (диагоналей)
n=8, то = 28 (диагоналей)
n=15, то = 105(диагоналей)

Ответ: 10; 66; 28; 105.

№ 14. Сколько разных трехцветных флагов можно сшить, комбинируя синий, красный и белый цвета?

Решение: Р₃ = 3! = 1 = 6 (флагов).

№ 15. Сколько разных плоскостей можно провести через 10 точек, если ни какие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре точки не лежат в одной плоскости?

Решение: = = = 360 (разных плоскостей)

№ 16*. Сколько разных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 2, 4, 6, 8 без их повторения?

Решение: Р₅ – Р₄ = 5! – 4! = 4! (5-1) = 4! 4 = 1 3 = 96 (разных пятизначных чисел)

№ 17. Среди перестановок из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сколько таких, которые не начинаются цифрой 5? числом 12? числом 123?

Решение: 4! = 1 3 - перестановок начинаются цифрой 5.

3! = 1 3 6 - перестановок начинаются цифрой 12.

2! = 1 перестановок начинаются с цифрами 123.

№ 18. Среди сочетаний из 10 букв a, b, c, . по 4 сколько таких, которые не содержат буквы а? букв a и b?

= = 63 (сочетаний не содержат букву a)

= = 140 (сочетаний не содержат букву a и b)

№ 19. Среди размещений из 12 букв a, b, c, . по 5 сколько таких, которые не содержат буквы а? букв a и b?

Решение: - = - = – = =7 = 83160 (размещений)

– = – = – = =720(132 – 1) = 94320 (размещений)

Ответ: 83160; 94320.

№ 20. Сколько необходимо взять элементов, чтобы число размещений из них по 4 было в 12 раз больше, чем число размещений из них по 2?

В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело с различного рода множествами и подмножествами: устанавливать их связь между элементами каждого, определять число множеств или их подмножеств, обладающих заданным свойством. Такие задачи приходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической телефонной связи, работы морских портов, при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, а также в лингвистике, в автоматической системе управления, значит и в теории вероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленными приложениями.

Поговорим об одном из разделов теории вероятности – комбинаторике.

Комбинаторика - ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных вариантов. Комбинаторика возникла в 17 веке. Долгое время она лежала вне основного русла развития математики.
С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов - во время работы.
Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника.
Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.
Комбинаторика как наука стала развиваться в 18 веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж.Кардано, Н.Тарталье (1499-1557), Г.Галилею (1564-1642) и французс- ким ученым Б.Паскалю (1623-1662) и П.Ферма.
Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г.Лейбниц в своей работе “ Об искусстве комбинаторики ”, опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин “комбинаторика”. Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер. В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика “добилась” новых успехов. В настоящее время в образовательный стандарт по математике включены основы комбинаторики, решение комбинаторных задач методом перебора, составлением дерева вариантов (еще его называют “дерево возможностей”) с применением правила умножения. Так, например, “дерево возможностей” помогает решать разнообразные задачи, касающиеся перебора вариантов происходящих событий. Каждый путь по этому “дереву” соответствует одному из способов выбора, число способов выбора равно числу точек в нижнем ряду “дерева”. Правило умножения заключается в том, что для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В. В задачах по комбинаторике часто применяется такое понятие как факториал (в переводе с английского “factor” - “множитель”).
Итак, произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут: n!=1 2 3 … (n-1) n
В комбинаторике решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

2) ЗАДАЧИ

1. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе - мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье - чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?

Читайте также: