Система состоит из подвижных и неподвижных блоков трех игрушечных лошадок и легких нитей

Обновлено: 05.05.2024

Одним из простых механизмов является блок. Блок — это колесо с желобом, по которому пропущена веревка или трос. Используется блок, как и все простые механизмы, для преобразования силы — т.е. изменения направления и модуля приложенной силы.

Блоки бывают подвижные и неподвижные. Рассмотрим каждый случай подробно.

Неподвижный блок — это блок, ось которого (точка О на рисунке) закреплена, и блок при подъеме грузов не опускается и не поднимается.

Такой блок можно рассматривать как рычаг первого рода, у которого оба плеча равны между собой, и равны радиусу колеса блока:

Так как плечи рычага равны, то мы не получим выигрыша в силе. Проверим это, используя формулу равновесия рычага:

В нашем случае неподвижного блока:

Действительно, для того чтобы уравновесить силу на одном конце веревки, перекинутой через блок, нам необходимо приложить такую же силу на другом конце. Поэтому неподвижные блоки используют в том случае, если удобнее изменить направление силы, для совершения работы. Например, удобнее поднимать груз, удерживая веревку при помощи своего веса, поэтому на рисунке экспериментатор использует неподвижный блок.

Используя комбинации из неподвижных блоков можно менять направление силы как угодно:

И в этом случае, используя уже два неподвижных блока — мы не получаем выигрыша в силе, зато изменили направление приложения силы, теперь для поднятия груза силу мы должны приложить в горизонтальном направлении.

Подвижный блок — это блок, ось которого не закреплена, а поднимается вместе с грузом. Изобразим подвижный блок находящийся в равновесии, отметим на рисунке силы, действующие на систему, а также плечи приложения этих сил:

Подвижный блок можно сравнить с рычагом второго рода. Действительно: точка опоры О лежит по одну сторону от точки приложения сил, отрезок ОА — плечо силы P

- плечо силы F

Рассчитаем, какой выигрыш в силе мы получим от использования подвижного блока. Для этого воспользуемся формулой равновесия рычага:

Получается, для удержания груза весом Р необходимо приложить в два раза меньшую силу. Таким образом, при использовании подвижного блока мы получаем двукратный выигрыш в силе.

Отлично, мы можем поднять груз в два раза тяжелее, чем без использования подвижного блока. Но как же золотое правило механики? Проверим, нарушается ли оно. Изобразим груз, поднятый на высоту h:

Из рисунка видно, что для поднятия груза на высоту h нам необходимо вытянуть веревку длиной

, очевидно, что для вытягивания груза на высоту h нам необходимо будет вытянуть веревку длиной 2h.

Таким образом, золотое правило механики (действуя на длинное плечо рычага, мы выигрываем в силе, но при этом во столько же раз проигрываем в пути) не нарушается, мы произведем такую же работу, как если бы поднимали груз без использования блока.

Тип 30 № 25706

На гладкой горизонтальной плоскости лежат два груза массами и соединённые невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через два неподвижных (А и В) и один подвижный (О) невесомые блоки, как показано на рисунке. Оси блоков горизонтальны, трения в осях блоков нет. К оси О подвижного блока приложена направленная вертикально вниз сила F = 4 Н. Найдите ускорение этой оси. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы и блок.

Какие законы Вы используете для описания движения брусков? Обоснуйте их применение.

Обоснование. Бруски движутся поступательно. Следовательно, их можно считать материальными точками. Подвижный блок невесом. На каждый брусок действуют сила тяжести и сила натяжения нити. На гладкой поверхности и в блоках отсутствует сила трения. Поэтому для описания движения каждого бруска по горизонтальной поверхности в инерциальной системе отсчета под действием этой силы с ускорением можно применять второй закон Ньютона.

Нить невесома. Значит, силы натяжения нити, действующая на каждый брусок и на подвижный блок, имеет одинаковое по модулю значения.

Нить нерастяжима. Поэтому можно составить уравнение кинематической связи между ускорениями брусков и подвижного блока.

Перейдем к решению. Нарисуем силы Т натяжения нити, одинаковые, в силу условия задачи, вдоль всей нити и действующие на грузы и блок О (см. рис.). Введём систему координат XY, как показано на рисунке, и запишем уравнения движения грузов в проекции на ось X:

В силу невесомости блока О имеем или

В силу нерастяжимости нити (длиной L) и неподвижности блоков А и В (их координаты x_A и x_B постоянны) имеется следующая кинематическая связь между координатами и грузов и координатой блока О (здесь r — радиус блоков А и В, R — радиус блока О):

Решаем записанную систему уравнений и получаем ответ:

Тип 30 № 25707

На гладкой горизонтальной плоскости лежат два груза массами и соединённые невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через два неподвижных (А и В) и один подвижный (О) невесомые блоки, как показано на рисунке. Оси блоков горизонтальны, трения в осях блоков нет. К оси О подвижного блока приложена некоторая направленная вертикально вниз сила, в результате чего ось О движется с ускорением Найдите модуль F этой силы. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы и блок.

Какие законы Вы используете для описания движения брусков? Обоснуйте их применение.

Перейдем к решению. Нарисуем силу F и силы T натяжения нити, одинаковые, в силу условия задачи, вдоль всей нити и действующие на грузы и блок O (см. рисунок). Введем систему координат XY, как показано на рисунке, и запишем уравнения движения грузов в проекции на ось

В силу невесомости блока O имеем или

В силу нерастяжимости нити (длиной L) и неподвижности блоков A и B (их координаты x_A и x_B постоянны) имеется следующая кинематическая связь между координатами и грузов и координатой блока O (здесь r — радиус блоков A и — радиус блока O:

Решаем записанную систему уравнений и получаем ответ:

Задания Д29 C2 № 4107

Нарисуем силы Т натяжения нити, одинаковые, в силу условия задачи, вдоль всей нити и действующие на грузы и блок О (см. рис.). Введём систему координат XY, как показано на рисунке, и запишем уравнения движения грузов в проекции на ось X:

В силу невесомости блока О имеем или

Решаем записанную систему уравнений и получаем ответ:

Здравствуйте. Объясните, пожалуйста, почему сумма ускорений равна нулю?

Это следствие строчки, написанной выше. Продифференцируйте ее правую и левую часть два раза по времени. Из соотношения для координат получите соотношение для ускорений.

Непонятно почему подвижный блок движется с ускорением при условии, что действия трех описанных в задаче сил на блок (две силы натяжения нити и сила тяжести) компенсируют друг друга.

Он не имеет массы, так что может двигаться как угодно. В принципе, равенство силе --- есть следствие невесомости

мне кажется, у вас в пояснении к этому заданию ошибка: Xa и Xв так же являются координатами, поэтому просто так смахнуть их в правую сторону в константы нельзя. (Xa - Х1) и (Хв - Х2) по сути являются перемещением, из которого можно узнать ускорения 1 и 2 при помощи дифференцирования.

и постоянны, поэтому их можно занести в результирующую константу.

и по сути являются расстояниями, а не перемещениями.

Задания Д29 C2 № 4159

На гладкой горизонтальной плоскости лежат два груза массами и соединённые невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через два неподвижных (А и В) и один подвижный (О) невесомые блоки, как показано на рисунке. Оси блоков горизонтальны, трения в осях блоков нет. К оси О подвижного блока приложена некоторая направленная вертикально вниз сила, в результате чего ось О движется с ускорением Найдите модуль F этой силы. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы и блок.

Нарисуем силу F и силы T натяжения нити, одинаковые, в силу условия задачи, вдоль всей нити и действующие на грузы и блок O (см. рисунок). Введем систему координат XY, как показано на рисунке, и запишем уравнения движения грузов в проекции на ось

В силу невесомости блока O имеем или

Решаем записанную систему уравнений и получаем ответ:

Объясните пожалуйста, как вы делаете вывод, что -а2-а1+2a0=0. Ведь x2-x1+2y равно константе, а не нулю.

Ускорение — вторая производная от координаты.

Почему производная от х2 будет отрицательной?

Направление ускорения второго груза выбрано против оси .

Тип 30 № 25718

Найдите модуль ускорения A груза массой М в системе, изображённой на рисунке. Трения нет, блоки невесомы, нити лёгкие и нерастяжимые, их участки, не лежащие на блоках, вертикальны, масса второго груза m, ускорение свободного падения равно g.

Какие законы Вы использовали для описания движения тел и блоков? Обоснуйте их применимость к данному случаю.

Обоснование. Грузы и блоки движутся поступательно, поэтому их можно считать материальными точками. Система отсчета, связанная с Землей, является инерциальной. Поэтому для каждого тела из представленной системы можно записать второй закон Ньютона.

Учитывая, что нити в данных условиях невесомы, силы натяжения, действующие на тела и блоки, возникающие в одной нити, равны по модулю.

Так как нить в данных условиях считается нерастяжимой, сила трения в блоках и сила сопротивления воздуха отсутствует, можно записать кинематические связи между ускорениями тел, составляющих систему.

Перейдем к решению. Введём координатную ось Х, направленную вниз, и отметим на ней координаты грузов М и m: x_M и x_m (см. рис.). Пронумеруем блоки цифрами 1, 2, 3 и укажем на рисунке силы натяжения нитей и силы тяжести, действующие на грузы. Согласно условию, в силу невесомости нитей и блоков, а также отсутствия сил трения, первая нить, охватывающая блоки 1 и 2, натянута с силой T, а вторая — с силой 2T, так что на груз m действует направленная вверх сила 4T. Если сместить груз М вдоль оси Х вниз на расстояние Δx_M, то в силу нерастяжимости нитей блок 2 сместится вверх, как следует из рисунка, на −Δx_M/2, а блок 3 и груз m — вверх на Δx_m = −Δx_M/4. Таким образом, Δx_M + 4Δx_m = 0.

Отсюда получаем уравнение кинематической связи: A + 4a = 0, где A и a — проекции ускорений грузов М и m на ось Х. Уравнения движения грузов (второй закон Ньютона) в проекциях на ось Х имеют вид: МA = Мg – T, ma = mg – 4T. Решая полученную систему из трех уравнений, находим, что модуль ускорения груза М равен:

Продолжаем разбор задач с блоками, грузами и связывающими их нитями. Двигаемся к более навороченным задачам.

Задача 1. Систему из трех брусков, находящихся на горизонтальном столе, приводят в движение, прикладывая горизонтальную силу $F$. Коэффициент трения между столом и брусками и между соприкасающимися брусками равен $\mu$. Массы брусков $m_1=m$, $m_2=2m$, $m_3=3m$. Массой нити, блока и трением в осях пренебречь.

Найти силу натяжения нити, если бруски $m_1$ и $m_2$ скрепить, а параметры $F, m, \mu$ подобрать такими, чтобы бруски двигались как одно целое.
Найти силу натяжения нити, если параметры $F, m, \mu$ подобрать такими, что нескрепленные бруски $m_1$ и $m_2$ движутся друг по другу, а бруски $m_1$ и $m_3$ – по столу.

Если система движется как одно целое, то для нее 2ЗН

$$3ma=2T_0-F_=2T_0-3\mu m g$$

Последнее умножим на 2:

То есть, если сравнить два выражения, то понятно, что

Теперь другой случай: все движется.

Из нерастяжимости нити следует, что

$$ma_1=F- F_-F_-T= F- 3\mu m g -2\mu m g -T$$

$$2ma_2= F_-T=2\mu m g -T$$
$$3ma_3=2T- F_=2T-3\mu m g$$

Так как $2a_3=a_1+a_2$, то

Ответ: 1) $T_0=\frac$; 2) $T=\frac(F-2\mu m g)$.

Задача 2. На гладкой горизонтальной поверхности находятся 2 тела с массами $m$ и $\frac$. К телам прикреплены легкие блоки и они связаны невесомой и нерастяжимой нитью так, как показано на рисунке. К концу нити прикладывают постоянную силу $F$. Найти ускорение конца нити.

Силы в задаче 2

Каждая нить между грузами сократится на $x+y$, если левый груз съедет на $x$, а правый – на $y$. Поэтому высвободится кусок нити длиной $2(x+y)$ – но это относительно левого груза!

Задача 3. Найдите ускорение груза 1 в системе, изображенной на рисунке. Массы грузов 1 и 2 равны $M$, массы грузов 3 и 4 равны $m$. Грузы 3 и 4 касаются грузов 1 и 2, участки нитей, не лежащие на блоках, горизонтальны или вертикальны. Нить невесома и нерастяжима, блоки легкие, трения нет.

При движении вправо грузы $M$ и $m$ можно считать единым целым, их ускорения вдоль горизонтальной оси совпадают.

Силы в задаче 3

Задача 4. В системе, изображенной на рисунке, нерастяжимая нить связывает кубик и два бруска, которые находятся на гладкой горизонтальной поверхности стола. Вначале бруски удерживают так, что расстояние между ними равно $H=75$ см. Затем их отпускают. Они начинают поступательное движение, в процессе которого нить все время остается в плоскости рисунка, а ее части, не касающиеся блоков, расположены либо горизонтально, либо вертикально. Стержни крепления блоков не мешают движению нити. Чему равна скорость кубика в момент прямо перед соударением брусков? Блоки и нить невесомы, трения в осях нет.

Силы в задаче 4

2ЗН для правого бруска:

Но тогда получается, что $a_2=a_3$. А из первого

Пусть левый брусок сместился на $x$ вправо, а правый – на $y$ влево. Три нити между брусками сократились на $x+y$. Полная длина нити неизменна, следовательно, сумма удлинений равна сумме сокращений. Кубик опустился на $z$, и, следовательно,

Применение подвижного блока даёт двукратный выигрыш в силе, применение неподвижного - позволяет изменить направление прилагаемой силы. На практике используются комбинации подвижных и неподвижных блоков. При этом каждый подвижный блок позволяет вдвое уменьшить прилагаемое усилие или вдвое увеличить скорость перемещения груза. Неподвижные блоки используют для связи подвижных блоков в единую систему. Такая система подвижных и неподвижных блоков называется полиспаст.

Полиспаст - система подвижных и неподвижных блоков, соединенных гибкой связью (канаты, цепи) используемая для увеличения силы или скорости подъема грузов.

Используется полиспаст в случаях, если необходимо прилагая минимальные усилия поднять или переместить тяжелый груз, обеспечить натяжение и т.п. Простейший полиспаст состоит всего из одного блока и каната, при этом позволяет в два раза снизить тяговое усилие, необходимое для подъема груза.

Рисунок 1. Каждый подвижный блок в полиспасте даёт двукратный выигрыш в силе или скорости

Обычно в грузоподъемных механизмах применяют силовые полиспасты, позволяющие уменьшить натяжение каната, момент от веса груза на барабане и передаточное число механизма (тали, лебедки). Скоростные полиспасты, позволяющие получить выигрыш в скорости перемещения груза при малых скоростях приводного элемента, применяются значительно реже. Они используются в гидравлических или пневматических подъемниках, погрузчиках, механизмах выдвижения телескопических стрел кранов.

Основной характеристикой полиспаста является кратность. Это отношение числа ветвей гибкого органа, на котором подвешен груз, к числу ветвей наматываемых на барабан (для силовых полиспастов), либо отношение скорости ведущего конца гибкого органа к ведомому (для скоростных полиспастов). Условно говоря, кратность это теоретически рассчитанный коэффициент выигрыша в силе или скорости при использовании полиспаста. Изменение кратности полиспаста происходит путем введения или удаления из системы дополнительных блоков, при этом конец каната при четной кратности крепится на неподвижном элементе конструкции, а при нечетной кратности - на крюковой обойме.

Рисунок 2. Крепление каната при чётной и нечётной кратности полиспаста

Выигрыш в силе при применении полиспаста с $n$ подвижных и $n$ неподвижных блоков определяется по формуле: $P=2Fn$, где $Р$ - вес груза, $F$ - сила, прилагаемая на входе полиспаста, $n$ - число подвижных блоков.

В зависимости от количества ветвей каната, закрепленных на барабане грузоподъемного механизма, можно выделить одинарные (простые) и сдвоенные полиспасты. В одинарных полиспастах, при наматывании или сматывании гибкого элемента вследствие его перемещения вдоль оси барабана, создается нежелательное изменение нагрузки на опоры барабана. Также в случае отсутствия в системе свободных блоков (канат с блока крюковой подвески непосредственно переходит на барабан) происходит перемещение груза не только в вертикальной, но и в горизонтальной плоскости.

Рисунок 3. Одинарные и сдвоенные полиспасты

Для обеспечения строго вертикального подъема груза применяют сдвоенные полиспасты, (состоящие из двух одинарных), в этом случае на барабане закрепляются оба конца каната. Для обеспечения нормального положения крюковой подвески при неравномерной вытяжке гибкого элемента обоих полиспастов применяют балансир или уравнительные блоки.

Рисунок 4. Способы обеспечения вертикальности подъёма груза

Скоростные полиспасты отличаются от силовых тем, что в них рабочая сила, обычно развиваемая гидравлическим или пневматическим цилиндром, прикладывается к подвижной обойме, а груз подвешивается к свободному концу каната или цепи. Выигрыш в скорости при использовании такого полиспаста получается в результате увеличения высоты подъёма груза.

При использовании полиспастов следует учитывать, что используемые в системе элементы не являются абсолютно гибкими телами, а имеют определенную жесткость, поэтому набегающая ветвь не сразу ложится в ручей блока, а сбегающая ветвь не сразу выпрямляется. Это наиболее заметно при использовании стальных канатов.

Вопрос: почему у подъемных строительных кранов крюк, который переносит груз, закреплен не на конце троса, а на обойме подвижного блока?

Ответ: для обеспечения вертикальности подъёма груза.

На рис.5 изображён степенной полиспаст, в котором несколько подвижных блоков, а неподвижный - только один. Определите, какой вес можно поднять, приложив к неподвижному блоку усилие $F$ = 200 H?

Каждый из подвижных блоков степенного полиспаста удваивает прилагаемое усилие. Вес, который может поднять степенной полистпаст третьей степени (без учёта поправок на силы трения и жёсткость троса), определяется формулой:

Блок представляет собой устройство, которое состоит из колеса с желобом, по которому пропускают, трос, веревку или цепь, а также прикрепленной к оси колеса обоймы с крюком. Блок может быть неподвижным и подвижным. У неподвижного блока ось закреплена, и она не двигается при подъеме или опускании груза.

Рисунок 1. Неподвижный блок

Неподвижный блок помогает изменить направление действия силы. Перекинув через такой блок, подвешенный вверху, веревку, мы можем, поднимать груз вверх, сами при этом находясь внизу.

Рисунок 2. Применение неподвижного блока для подъёма грузов

Однако выигрыша в силе применение неподвижного блока нам не дает. Мы можем представить блок в виде рычага, вращающегося вокруг неподвижной опоры -- оси блока. Тогда радиус блока будет равен плечам, приложенных с двух сторон сил, - силы тяги нашей веревки с грузом с одной стороны и силы тяжести груза с другой. Плечи будут равны, соответственно, выигрыша в силе нет.

Рисунок 3. Неподвижный блок как равноплечий рычаг

На практике неподвижные блоки используют в системах, сочетающих их с другими блоками. или рычагами. Например, двойной блок из двух неподвижных блоков различного диаметра, насаженных на общую ось, позволяет не только изменить направление приложения силы, но и обеспечить выигрыш в силе или скорости.

Рисунок 4. Двойной блок и его схема

Ворот, применяемый в колодцах для подъёма воды, или кабестан, с помощью которого раньше поднимали якорь на кораблях -- представляют собой комбинацию неподвижного блока с рычагом.

Рисунок 5. Кабестан (вертикальный ворот)

Пожарные, альпинисты, маляры иногда применяют неподвижный блок так, как показано на рис. 6, поднимая сами себя по веревке. Получается ли при этом выигрыш в силе по отношению к весу поднимаемого груза?

Плечами рычага в неподвижном блоке служат радиусы блока. Поскольку радиус постоянен, то выигрыша в силе неподвижный блок не даёт. Подъём в данном случае осуществляется за счёт мускульной силы человека, однако прилагаемое при этом усилие равно его весу. Ответ: выигрыша в силе в данном случае нет.

К концам невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через невесомый неподвижный блок без трения в оси, подвешены грузы с массами $m_1$ = 1 кг и $m_2$ = 2 кг. Каково ускорение, с которым движется второй груз?

Из условия невесомости и нерастяжимости нити следует, что сила натяжения нити на всех участках одинакова: $T_1 = T_2 = T$, и система тел движется как единое целое с одинаковым по модулю ускорением: $a_1 = a_2 = a$

Рассмотрим все силы действующие на каждый груз отдельно:

на I груз действуют: $m_1g$ и $T_1$; на II груз действуют: $m_2g$ и $T_2$

Систему отсчёта свяжем с Землёй.

$$m_1 = 1 кг$$ $$m_2 =2 кг$$ $$g = 9,81 м/c_2$$ $$а_2 - ?$$

Проецируя вектора на координатные оси и учитывая равенство напряжений нити и ускорений, сложим почленно эти уравнения в скалярной форме:

+$ \begin T-m_1g=m_1a \\ m_2g-T=m_2a \end \ \Longrightarrow g\left(m_2-m_1\right)=a\left(m_2+m_1\right)\Longrightarrow a=g\frac=9,81\cdot \frac$ \[a=3,27\ м/c^2\]

Читайте также: