Свете на день рождения подарили 4 плюшевых игрушки 2 мяча и 5 кукол

Обновлено: 19.04.2024

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

УЧИМСЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО КОМБИНАТОРИКЕ

В данной методразработке мы коснёмся элементов комбинаторики , которые потребуются для дальнейшего изучения теории вероятностей . Следует отметить, что комбинаторика является самостоятельным разделом высшей математики

В узком смысле комбинаторика – это подсчёт различных комбинаций, которые можно составить из некоторого множества дискретных объектов. Под объектами понимаются какие-либо обособленные предметы или живые существа – люди, звери, грибы, растения, насекомые и т.д. Самыми распространёнными видами комбинаций являются перестановки объектов, их выборка из множества (сочетание) и распределение (размещение).

Перестановки

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же различных объектов и отличающиеся только порядком их расположения. Количество всех возможных перестановок выражается формулой

Отличительной особенностью перестановок является то, что в каждой из них участвует ВСЁ множество, то есть, все объектов.

Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?

Решение : используем формулу количества перестановок:

Ответ : 120 способами

Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?

В учебниках обычно даётся лаконичное и не очень понятное определение сочетаний, поэтому, в моих устах формулировка будет не особо рациональной, но, надеюсь, доходчивой:

Сочетаниями называют различные комбинации из объектов, которые выбраны из множества различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом. Иными словами, отдельно взятое сочетание – это уникальная выборка из элементов, в которой не важен их порядок (расположение). Общее же количество таких уникальных сочетаний рассчитывается по формуле .

В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

Решение : прежде всего детали считаются различными – даже если они на самом деле однотипны и визуально одинаковы (в этом случае их можно, например, пронумеровать) .

В задаче речь идёт о выборке из 4-х деталей, в которой не имеет значения их «дальнейшая судьба» – грубо говоря, «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:

Здесь, конечно же, не нужно ворочать огромные числа .
В похожей ситуации я советую использовать следующий приём: в знаменателе выбираем наибольший факториал (в данном случае ) и сокращаем на него дробь. Для этого числитель следует представить в виде .

способами можно взять 4 детали из ящика.

Ещё раз: что это значит? Это значит, что из набора 15-ти различных деталей можно составить одну тысячу триста шестьдесят пять уникальных сочетания 4-х деталей. То есть, каждая такая комбинация из 4-х деталей будет отличаться от других комбинаций хотя бы одной деталью.

Ответ : 1365 способами

Формуле необходимо уделить самое пристальное внимание, поскольку она является «хитом» комбинаторики. При этом полезно понимать и без всяких вычислений записывать «крайние» значения: . Применительно к разобранной задаче:

– единственным способом можно взять ни одной детали;
способами можно взять 1 деталь (любую из 15-ти);
способами можно взять 14 деталей (при этом какая-то одна из 15-ти останется в ящике);
– единственным способом можно взять все пятнадцать деталей.

Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

Размещениями называют различные комбинации из объектов, которые выбраны из множества различных объектов, и которые отличаются друг от друга как составом объектов в выборке, так и их порядком . Количество размещений рассчитывается по формуле

Боря, Дима и Володя сели играть в «очко». Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)

Решение : здесь важно не только то, какие три карты будут извлечены из колоды, но и то, КАК они будут распределены между игроками. По формуле размещений:

способами можно раздать 3 карты игрокам.

Есть и другая схема решения, которая, с моей точки зрения, даже понятнее:

способами можно извлечь 3 карты из колоды.

Теперь давайте рассмотрим, какую-нибудь одну из семи тысяч ста сорока комбинаций, например: король пик, 9 червей , 7 червей. Выражаясь комбинаторной терминологией, эти 3 карты можно «переставить» между Борей, Димой и Володей способами:

КП, 9Ч, 7Ч;
КП, 7Ч, 9Ч;
9Ч, КП, 7Ч;
9Ч, 7Ч, КП;
7Ч, КП, 9Ч;
7Ч, 9Ч, КП.

И аналогичный факт справедлив для любого уникального набора из 3-х карт. А таких наборов, не забываем, мы насчитали .

Найденное количество сочетаний следует умножить на шесть:

способами можно сдать по одной карте 3-м игрокам.

Ответ : 42840

В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?

Правило сложения и правило умножения комбинаций

Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать 2-х человек одного пола?

Решение : в данном случае не годится подсчёт количества сочетаний , поскольку множество комбинаций из 2-х человек включает в себя и разнополые пары.

Условие «выбрать 2-х человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать двух юношей или двух девушек, и уже сама словесная формулировка указывает на верный путь решения:

способами можно выбрать 2-х юношей;
способами можно выбрать 2-х девушек.

Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать: способами.

Ответ : 123

Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?

Решение : для наглядности обозначим данное число тремя звёздочками: ***

Комбинации будем считать по разрядам – слева направо :

В разряд сотен можно записать любую из цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9). Ноль не годится, так как в этом случае число перестаёт быть трёхзначным.

А вот в разряд десятков («посерединке») можно выбрать любую из 10-ти цифр: .

По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас устраивают 2 цифры.

Итого, существует : трёхзначных чисел, которые делятся на 5.

При этом произведение расшифровывается так: «9 способами можно выбрать цифру в разряд сотен и 10 способами выбрать цифру в разряд десятков и 2 способами в разряд единиц »

Или ещё проще: « каждая из 9-ти цифр в разряде сотен комбинируется с каждой из 10-ти цифр разряда десятков и с каждой из двух цифр в разряде единиц ».

1. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе - мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье - чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?

1 способ. Перечислим возможные варианты

Чай(Ч) Компот (К)	Мясо с макаронами(М)	Рыба с картошкой(Р)	Курица с рисом(Кр)
Борщ (Б)	БМЧ/ БМК	БРЧ/БРК	БКрЧ/БКрК
Солянка(С)	СМЧ/ СМК	СРЧ/СРК	СКрЧ/СКрК
Грибной суп(Г)	ГМЧ/ГМК	ГРЧ/ГРК	ГКрЧ/ГКрК

18 вариантов.
2 способ. Дерево возможностей.

3 способ. Используя правило умножения, получаем: 3х3х2=1

2. Свете на день рождения подарили 4 плюшевых игрушки, 2 мяча и 5 кукол. Мама положила все игрушки в большую коробку. Сколькими способами Света сможет достать из коробки 1 плюшевую игрушку, 1 мяч и 1 куклу?

1 способ. Обозначим мячи - М1, М2, игрушки- И1,И2,И3, И4, куклы- К1,К2, К3, К4, К5.
Перечислим возможные варианты:

М1-И1-К1, М1-И1-К2, М1-И1-К3, М1-И1-К4, М1-И1-К5,
М1-И2-К1, М1-И2-К2, М1-И2-К3, М1-И2-К4, М1-И2-К5,
М1-И3-К1, М1-И3-К2, М1-И3-К3, М1-И3-К4, М1-И3-К5,
М1-И4-К1, М1-И4-К2, М1-И4-К3, М1-И4-К4, М1-И4-К5
М2-И1-К1, М2-И1-К2, М2-И1-К3, М2-И1-К4, М2-И1-К5,
М2-И2-К1, М2-И2-К2, М2-И2-К3, М2-И2-К4, М2-И2-К5,
М2-И3-К1, М2-И3-К2, М2-И3-К3, М2-И3-К4, М2-И3-К5,
М2-И4-К1, М2-И4-К2, М2-И4-К3, М2-И4-К4, М2-И4-К5

Ответ: 40 вариантов.
2 способ. Используя правило умножения, получаем: 2х4х5= 40

3. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9?

1 способ.
Перечислим возможные варианты.

2 способ. Дерево возможностей.

3 способ. Используя правило умножения, получаем: 5х3=15 .

4. Мисс Марпл, расследуя убийство, заметила отъезжающее от дома мистера Дэвидсона такси. Она запомнила первую цифру “2”. В городке номера машин были трехзначные и состояли из цифр 1,2,3,4 и 5. Скольких водителей, в худшем случае, ей придется опросить, чтобы найти настоящего убийцу?

1 способ. Перечислим возможные варианты номеров такси:

Ответ: 25 человек.

2 способ. Используя правило умножения, получаем: 5х5=25

5. Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?

1 способ. Пронумеруем стулья, на которых должен сесть каждый, и будем считать, что они рассаживаются поочередно:

№1 - Саша - есть возможность выбрать из 5 вариантов (стульев)
№2 - Петя - 4 варианта
№3- Денис - 3 варианта
№4- Оля - 2 варианта
№5 - Настя- 1 вариант

Используя правило умножения, получаем: 5х4х3х2х1=120

2 способ. Решаем, используя понятие факториала: 5!=120

6. Из учащихся пяти 11 классов нужно выбрать двоих дежурных. Сколько пар дежурных можно составить (ученики в паре не должны быть из одного класса)?

1 способ. Перечислим возможные варианты состава пары:

11А-11Б, 11А-11В, 11А-11Г, 11А-11Д,
11Б-11В, 11Б-11Г, 11Б-11Д, 11В-11Г, 11В-11Д, 11Г-11Д

Ответ: 10 пар.

2 способ. Из пяти классов нужно выбрать 2 дежурных.
Число элементарных событий = = 10

1 способ. Обозначим имена детей первыми заглавными буквами.
Получаем следующие пары:
В-К, В-А, Д-К, Д-А, О-К, О-А.

Ответ: 6 пар.

2 способ. Мальчиков 3, из них 1 можно выбрать , девочек 2, из них можно 1 выбрать , используя правило умножения, получаем:
х = 6

8. В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы.

Сколькими способами могут распределится места по окончании соревнований?
Обозначим участников по первой заглавной букве страны и пронумеруем: Р1, И2, У3, Н4,К5, Ф6
Р1 - имеют возможность занять с1-6 места, т.е. 6 вариантов
И2 - 5 вариантов
У3- 4 варианта
Н4- 3 варианта
К5- 2 варианта
Ф6- 1 вариант
Используя правило умножения, получаем: 6х5х4х3х2х1= 720

2 способ. Используя понятие факториала, получаем: 6!=720

9. В 9 “б” классе 6 человек (Галя, Света, Катя, Оля, Максим, Витя) учатся на все пятерки. Департамент образования премировал лучших учащихся путевками в Анапу. Но, к сожалению, путевок всего четыре. Сколько возможно вариантов выбора учеников на отдых?

Обозначим первыми заглавными буквами имен учащихся.
Возможны следующие тройки:
Г-С-К-О, Г-С-К-М, Г-С-К-В,
Г-С-О-М, Г-С-О-В, Г-С-М-В
С-К-О-М, С-К-О-В, С-К-М-В,
К-О-М-В, С-О-М-В, Г-К-О-В,
Г-К-О-В, Г-О-М-В, Г-К-М-В

2 способ. Из 6 человек нужно выбрать 4, число элементарных событий равно = 15

10. Пете на день рождения подарили 7 новых дисков с играми, а Вале папа привез 9 дисков из командировки. Сколькими способами они могут обменять 4 любых диска одного на 4 диска другого?

Вычислим, сколько четверок из 7 дисков можно составить у Пети:
=35, число четверок у Вали из 9 дисков - = 126
По правилу умножения находим число обменов 35х126=4410

11. Войсковое подразделение состоит из 5 офицеров, 8 сержантов и 70 рядовых. Сколькими способами можно выделить отряд из 2 офицеров, 4 сержантов и 15 рядовых?

Из 5 офицеров выбрать 2 можно с помощью числа сочетаний =10 способами, из 8 сержантов 4 - =70, из 70 рядовых 15 - . По правилу умножения находим число выбора отряда:
10х70х = 700х

12. В ювелирную мастерскую привезли 6 изумрудов, 9 алмазов и 7 сапфиров. Ювелиру заказали браслет, в котором 3 изумруда, 5 алмазов и 2 сапфиров. Сколькими способами он может выбрать камни на браслет?

Из 6 изумрудов 3 он может выбрать =20 способами, из 9 алмазов 5 - =126, из 7 сапфиров 2 - =21. По правилу умножения находим число вариантов 20х126х21=52920

13. На выборах победили 9 человек - Сафонов, Николаев, Петров, Кулаков, Мишин, Гусев, Володин, Афонин, Титов. Из них нужно выбрать председателя, заместителя и профорга. Сколькими способами это можно сделать?

Здесь речь идет о размещениях
Можно было решать по-другому. На должность председателя выбираем из 9 человек, на заместителя - из 8, на профорга - из 7
По правилу умножения получаем 9х8х7=504

14. В районе построили новую школу. Из пришедших 25 человек нужно выбрать директора школы, завуча начальной школы, завуча среднего звена и завуча по воспитательной работе. Сколькими способами это можно сделать?

На должность директора выбираем из 25 человек, на завуча начальной - из 24, завуча среднего звена - из 23, завуча по воспитательной работе - 22. По правилу умножения получаем:
25х24х23х22 = 303600
Или, зная формулу размещения, получаем

15. В студенческом общежитии в одной комнате живут трое студентов Петя, Вася и Коля. У них есть 6 чашек, 8 блюдец и 10 чайных ложек (все принадлежности отличаются друг от друга). Сколькими способами ребята могут накрыть стол для чаепития (так, что каждый получит чашку, блюдце и ложку)?

Для Пети набор можно набрать 6х8х10=480 способами, для Васи - 5х7х9=315, для Коли - 4х6х8=192. По правилу умножения получаем
480х315х192=29030400 способами.

16. В кабинете заведующего ювелирного магазина имеется код, состоящий из двух различных гласных букв русского алфавита, за которой следуют 3 различные цифры. Сколько вариантов придется перебрать мошеннику, чтобы раздобыть драгоценности, которые там хранятся?

В русском языке 9 гласных букв - а, е, е, и, о, у, э, ю, я. Выбрать из них 2 можно =36 способами. Из 10 цифр выбрать 3 можно =120 способами. Применяя правило умножения, получаем:
36х120=4320

17. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из полос разной ширины, если имеются материи из 8 тканей?
Эта задача на размещение

Другой способ решения.
1цвет выбирается из 8 тканей 8 способами
2цвет выбирается 7 способами
3 цвет - 6способами
Используя правило умножения, получаем 8х7х6=336 способов.

18. В 9 классе 15 предметов. Завучу школы нужно составить расписание на субботу, если в этот день 5 уроков. Сколько различных вариантов расписания можно составить, если все уроки различные?

Из 15 предметов 5 любых можно выбрать

19. В огороде у бабушки растут 3 белые, 2 алые и 4 чайных розы. Сколькими различными способами можно составить букет из трех роз разного цвета?

1 способ. Обозначим белые - Б1, Б2, Б3, алые - А1,А2, чайные - Ч1, Ч2, Ч3,Ч4
Перечислим возможные варианты
Б1-А1-Ч1, Б1-А1-Ч2, Б1-А1-Ч3, Б1-А1-Ч4, Б1-А2-Ч1,Б1-А2-Ч2, Б1-А2-Ч3, Б1-А2-Ч4
Б2- А1-Ч1, Б2-А1-Ч2, Б2-А1-Ч3, Б2-А1-Ч4, Б2-А2-Ч1,Б2-А2-Ч2, Б2-А2-Ч3, Б2-А2-Ч4
Б3- А1-Ч1, Б3-А1-Ч2, Б3-А1-Ч3, Б3-А1-Ч4, Б3-А2-Ч1,Б3-А2-Ч2, Б3-А2-Ч3, Б3-А2-Ч4

Ответ: 24 варианта.

2способ. Дерево возможностей

3 способ. Используя правило умножения, получаем: 2х3х4=24

20. К 60-летию Победы группа школьников отправилась по местам боевых действий в Смоленской области. Они планировали осуществить поход по маршруту деревни Сосновка-Быковка-Масловка- Видово. Из С в Б можно проплыть по реке или пройти пешком, из Б в М- пешком или на автобусе, из М вВ - по реке, пешком или автобусе. Сколько вариантов похода есть у щкольников?

1 способ. Обозначим СБ - путь из Сосновки в Бытовку, ВГ - путь из Быковки в Масловку, МВ - путь из Масловки в Видово.
По реке -Р, пешком - П, на автобусе - А
Перечислим возможные варианты:
СБР- БМП-МВР, СБР- БМП-МВП, СБР- БМП-МВА
СБР-БМА-МВР, СБР-БМА-МВП, СБР-БМА-МВА
СБА- БМП-МВР, СБА- БМП-МВП, СБА- БМП-МВА
СБА-БМА-МВР, СБА-БМА-МВП, СБА-БМА-МВА
Ответ: 12 вариантов.

2 способ. Дерево возможностей

Задачи по комбинаторике. Примеры решений

На данном уроке мы коснёмся элементов комбинаторики, которые потребуются для дальнейшего изучения теории вероятностей. Следует отметить, что комбинаторика является самостоятельным разделом высшей математики (а не частью тервера) и по данной дисциплине написаны увесистые учебники, содержание которых, порой, ничуть не легче абстрактной алгебры. Однако нам будет достаточно небольшой доли теоретических знаний, и в данной статье я постараюсь в доступной форме разобрать основы темы с типовыми комбинаторными задачами. А многие из вас мне помогут ;-)

Чем будем заниматься? В узком смысле комбинаторика – это подсчёт различных комбинаций, которые можно составить из некоторого множества дискретных объектов. Под объектами понимаются какие-либо обособленные предметы или живые существа – люди, звери, грибы, растения, насекомые и т.д. При этом комбинаторику совершенно не волнует, что множество состоит из тарелки манной каши, паяльника и болотной лягушки. Принципиально важно, что эти объекты поддаются перечислению – их три (дискретность)и существенно то, что среди них нет одинаковых.

С множеством разобрались, теперь о комбинациях. Самыми распространёнными видами комбинаций являются перестановки объектов, их выборка из множества (сочетание) и распределение (размещение). Давайте прямо сейчас посмотрим, как это происходит:

Простые задачи на нахождение суммы
1. Ира прочитала 6 книг, а Петя 3 книги. Сколько всего книг прочитали дети?
2. В вазе лежало 5 груш, положили ещё 4 груши. Сколько груш стало в вазе?
3. На первом окне стояло 2 горшка с цветами, а на втором окне - 7горшков. Сколько горшков с цветами стояло на окнах?
4. В одной квартире живёт 4 человека, а в другой 5 человек, а в третьей столь ко, сколько в первой и второй вместе. Сколько человек живёт в третьей квартире?

Простые задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц
5. В одном доме 7 этажей, а в другом на 3 этажа больше. Сколько этажей во вто-
ром доме?
6. У Вани 8 машин, а у Серёжи на 4 меньше. Сколько машинок у Серёжи?
7. Ане 3 годика, а брат старше на 2 года. Сколько лет брату?

Простые задачи на нахождение остатка
8. На ветке сидели 6 птиц. 2 птицы улетели. Сколько птиц осталось на ветке?
9. В пакете 7 яблок. 3 яблока съели. Сколько яблок осталось в пакете?

Простые задачи на разностное сравнение
10. На ветке сидели 3 синицы и 4 вороны. На сколько больше ворон, чем синиц?
11. На лугу паслось 6 коров и 2 козы. На сколько меньше паслось коз, чем коров?

Простые задачи на нахождение неизвестного слагаемого
12. У Оли было 3 мандарина. Когда ей дали ещё несколько, то у неё их стало 5.
Сколько мандаринов дали Оле?
13. На опушке сидело несколько зайцев. Когда к ним прибежали ещё 2 зайца, то их
стало 7. Сколько зайцев сидело на опушке?
14. В гараже стоит 10 автомашин. Сколько грузовых машин в гараже, если легковых
4?

Простые задачи на нахождение неизвестного вычитаемого
15. В книге 8 страниц. Валя прочитала несколько страниц и осталось 6 страниц.
Сколько страниц прочитала Валя?
16. В автобусе ехало 10 человек. На остановке несколько человек вышло и оста-
лось 6 человек. Сколько человек вышло из автобуса?

Простые задачи на нахождение неизвестного уменьшаемого
17. Диме принесли на день рождения ещё 2 подарка и у него их стало 6.Сколько
подарков уже было у Димы?
18. После того как Миша решил 7 задач, ему осталось решить 3 задачи. Сколько
задач задали решить Миша?

Простые задачи с косвенными вопросами
19. Длина красного отрезка 4 см, что на 2 см меньше длины синего отрезка. Какова
длина синего отрезка?
20. Хозяйка засолила 9 кг огурцов, что на 3 кг больше, чем кабачков. Сколько кг
кабачков засолила хозяйка?

Образцы записи задач в тетрадях

Карточка №1.
1.На ветке 10 синиц. 6 синиц улетели. Сколько осталось?
2.У Артёма 9 копеек. Он нашёл 1 копейку. Сколько стало?
3.В классе 9 мальчиков, а девочек на 4 меньше. Сколько девочек?
4.На столе лежит 6 книг, а тетрадей на 2 больше. Сколько тетрадей?
5.Костя получил 5 оценок. Из них 4- пятёрки. Сколько четвёрток?
6.Костя получил на математике 1 пятёрку, на чтении ещё 2 пятёрки, а на музыке
ещё 1 пятерку. Сколько всего оценок?
7.У Любы 3 марки, у Лены 7 марок. На сколько у Любы меньше, чем у Лены?

Карточка №3.
1.Боря купил 8 марок. 4 марки он потерял. Сколько осталось?
2.Лена получил 6 пятёрок, потом ещё 3. Сколько всего?
3.В вазе 3 розы, а лилий на 2 больше. Сколько лилий?
4.К речке идут 8 утят, а уток на 2 меньше. Сколько уток?
5. В пакете всего 7 конфет. Из них 1 ириска. Сколько шоколадных?
6.У Миши и Вани всего 9 леденцов. Миша съел 4 леденца, а Ваня столько же. Сколько осталось?
7.У Лили 3 шоколадки и 1 леденец. На сколько шоколадок больше, чем леденцов?

Карточка №2.
1.Было 8 конфет. Петя съел 2 конфеты. Сколько осталось?
2.На столе 5 груш и 3 апельсина. Сколько всего?
3. У Тимура 6 книг, а у Алины на 2 больше. Сколько у Алины?
4.Мы выписали 3 газеты, а журналов на 2 меньше. Сколько журналов?
5.В вазе 10 цветов. Из них 3 тюльпана, а остальные- розы. Сколько роз?
6.В вазе 3 цветка, положили ещё 4 цветка, а 2 цветка завяли. Сколько осталось?
7.В вазе 5 роз, а тюльпанов4. На сколько роз больше, чем тюльпанов?

Карточка №4.
1.Было 10 цыплят. 3 убежали. Сколько осталось?
2.У Пети 7 копеек, у Вовы 2 копейки. Сколько
всего?
3.У Эли 5 конфет, а у Артура на 1 меньше. Сколько у Артура?
4.В пакете 5 груш, а в сумке на 3 больше. Сколько в сумке?
5.Во дворе 5 кошек. Из них 1 рыжая, остальные – серые. Сколько серых котят?
6.Было 7 котят. 2 котёнка ушли, а 3 пришли. Сколько стало?
7.Во дворе 7 котят и 5 щенят. Кого больше и на сколько?

Карточка №5.
1.Было 7 чашек. 2 разбили. Сколько осталось?
2.На ветке 4 вороны и столько же воробьёв. Сколько всего?
3.Диане 7 лет, а Витя на 1 год младше Дианы. Сколько лет Вите?
4.В магазине продали 8 утюгов, а ламп на 2 больше. Сколько ламп продали?
5.В парке всего 7 деревьев. Из них 3 липы. Сколько берёз?
6.В парке было 4 дерева. Сначала посадили 2 берёзы, потом ещё столько же. Сколько стало?
7.В парке 6 берёз и 2 осины. На сколько осин меньше, чем берёз?

Карточка №6.
1.У Вовы 7 открыток. Он подарил Мише 3 открытки. Сколько осталось?
2.На дереве 7 птиц. Прилетели ещё 3. Сколько стало?
3.На первой полке 2 книги, а на второй на 5 больше. Сколько книг на второй полке?
4.Лиде 5 лет, Антон на 2 года моложе Лиды. Сколько лет Антону?
5.В классе 10 детей. Из них 6 мальчиков. Сколько девочек?
6.В классе 10 детей. 5 человек вышли, а 3 вошли. Сколько стало?
7.В классе 9 мальчиков и 10 девочек. На сколько девочек больше, чем мальчиков?

Карточка №7.
1.На пальто было 6 пуговиц. 3 оторвались. Сколько осталось?
2.Илья съел 4 яблока и 3 груши. Сколько всего?
3.Света живёт на 3 этаже, а Коля на 1 этаж выше. На каком этаже живёт Коля?
4.В озере 10 лещей, а окуней на 2 меньше. Сколько окуней?
5.У Васи было 10 копеек. После того как он купил тетрадь, у него осталось 7 копеек. Сколько стоит тетрадь?
6. У Васи было 10 копеек. Он купил тетрадь за 4 копейки и блокнот за 5 копеек. Сколько копеек осталось?
7.У Лены 5 рублей, у Юли 9 рублей. У кого больше и на сколько?

Карточка №8.
1.В тарелке 8 слив. Костя съел 2 сливы. Сколько осталось?
2.В саду растут 6 роз и 3 пиона. Сколько всего цветов?
3.В классе 5 шкафов, а окон на 2 меньше. Сколько окон в классе?
4.На верхней полке 4 книги, а на нижней на 3 больше. Сколько книг на нижней полке?
5.В сарае было несколько лопат. Когда 3 лопаты взяли, осталось 5 лопат. Сколько лопат было сначала в сарае?
6.У Дениса было 2 карандаша. Тимур дал Денису ещё 2 карандаша, а Анны 3 карандаша. Сколько карандашей стало у Дениса?
7.В вазе 10 тюльпанов и 5 роз. Чего больше и на сколько?

Карточка №9.
1.Было 10 копеек. Истратили 4 копейки. Сколько осталось ?
2.У машины 4 колеса. Сколько колес у двух машин?
3.Коле 9 лет, а Игорь на 2 года моложе. Сколько лет Игорю?
4.Во дворе играют малыши. Девочек 5, а мальчиков на 1 больше. Сколько мальчиков?
5.Всего 7 карандашей. Из них 3 красных. Сколько синих?
6.У Вовы было 7 карандашей. 1 он потерял. Потом он купил ещё 4 карандаша. Сколько стало?
7. У Вовы было 7 синих карандашей и 2 красных. На сколько красных меньше, чем синих?

Карточка №10.
1.Было 8 шариков. 3 лопнули. Сколько осталось?
2.У Кати 3 жёлтых шара и 4 зелёных. Сколько всего?
3.У Романа 9 карандашей, а у Данила на 1 больше. Сколько у Данила?
4.В букете 6 колокольчиков, а ромашек на 1 меньше. Сколько ромашек?
5.В тарелке 8 овощей. Из них 4 огурца. Сколько помидоров?
6. В тарелке было 8 овощей. Сначала съели 2 огурца, потом 3 помидора. Сколько осталось?
7. В тарелке 8 огурцов и 5 помидоров. На сколько огурцов больше, чем помидоров?

Карточка №11.
1.На столе 10 грязных ложек. 5 ложек вымыли. Сколько осталось?
2.Дед Мороз подарил Юле 3 шоколадки и столько же конфет. Сколько всего?
3.В небе 8 самолётов, а вертолётов на 3 меньше. Сколько вертолётов?
4.Оле 6 лет, Серёжа на 2 года старше. Сколько лет Серёже?
5.У Мити 7 шаров. Из них 2 – большие. Сколько маленьких?
6. У Мити было 7 шаров. 1 лопнул, 2 улетели. Сколько осталось?
7.У Мити 3 больших шара и 4 маленьких. На сколько больших шаров меньше, чем маленьких?

Карточка №12.
1.У учителя 10 тетрадей. 8 она уже проверила. Сколько осталось?
2.Данил выпил сначала 4 чашек чая, потом ещё 1. Сколько всего?
3.Артём смастерил 6 поделок, а Стас на 1 меньше. Сколько поделок сделал Стас?
4.Свете 7 лет. Юра на 3 года старше Светы. Сколько лет Юре?
5.Петя поймал всего 5 рыб. Из них 3 окуня. Сколько лещей?
6. Петя поймал 5 рыб, потом ещё столько же. Мама из 3 рыб сварила суп. Сколько осталось?
7.Петя поймал 3 окуней и 10 лещей. На сколько больше лещей, чем окуней?

Карточка №13.
1.У почтальона 8 писем. 5 писем он раздал. Сколько осталось?
2.На поляне 4 зайца. Пришли ещё 2. Сколько стало?
3.Вера живёт на 5 этаже, а Юля на 2 этажа выше. На каком этаже живёт Юля?
4.В нашем доме 5 этажей. Дом, стоящий рядом, на 4 этажа выше. Сколько этажей в соседнем доме?
5.В автобусе 9 человек. Из них 5 мужчин. Сколько женщин?
6.Курочка снесла 10 яиц. Мышка разбила 4 яйца, но курочка ещё снесла 3 яйца. Сколько стало?
7. У почтальона 4 письма и 3 журнала. Чего больше и на сколько?

Карточка №14.
1.Было 9 цветов. 4 завяли. Сколько осталось?
2.На первой полке 8 книг. На второй – 2. Сколько всего?
3.У Васи 7 флажков, а у Антона на 3 меньше. Сколько у Антона?
4.С огорода принесли 5 репок, а морковок на 1 больше. Сколько морковок?
5.Было 10 яиц. Мышка пробежала и разбила несколько яиц. Осталось 8 яиц. Сколько яиц разбила мышь?
6. В автобусе было 5 человек. 3 человека вышли, а вошли 8 человек. Сколько стало?
7. В автобусе 9 мужчин и 3 женщины. На сколько женщин меньше, чем мужчин?

Карточка №15.
1.Витя выучил 4 стихотворения. 3 он забыл. Сколько осталось?
2Лене 4 года. Сколько лет будет Лене через 2 года?
3.Люба живёт на 10 этаже, а Юра на 4 этажа ниже, На каком этаже живёт Юра?
4.В саду 4 яблони, а кустов малины на 3 больше. Сколько кустов малины?
5.В вагоне едут 10 офицеров: 4 из них – майоры, а остальные – капитаны. Сколько капитанов?
6.В вагоне 7 пассажиров. Вошёл 1, вышли 5. Сколько осталось?
7.В саду 3 яблони и 5 груш. Чего больше и на сколько?

Карточка №16.
1.В автобусе 6 человек. 4 вышли. Сколько осталось?
2.Марат пригласил на день рождения 2 девочек и 3 мальчиков. Сколько всего?
3.Володя живёт на 4 этаже, а Оля на 3 этажа выше. На каком этаже живёт Оля?
4.В парке 6 дубов, а елей на 2 меньше. Сколько елей?
5.Мама испекла 8 пирожков: 3 из них с капустой. Сколько с повидлом?
6. .Мама испекла 8 пирожков. Надя съела 2, Юля съела столько же. Сколько осталось?
7.В парке 6 дубов и 10 берёз. Чего больше и на сколько?
Карточка №17.
1.Было 9 детей. 2 мальчика ушли. Сколько осталось?
2.В классе 5 девочек и 4 мальчика. Сколько всего?
3.Дарине 7 лет, а Оля на 2 года старше. Сколько лет Оле?
4.Купили 10 апельсинов, а лимонов на 3 меньше. Сколько купили лимонов?
5.На ветке 6 птиц. Из них 3 вороны. Сколько синиц?
6.На ветке было 3 синицы. Прилетели ещё 4, а улетели 2. Сколько осталось?
7.На ветке 3 вороны и 5 синиц. На сколько синиц больше, чем ворон?

Карточка №18.
1.Бабушка испекла 8 пирожков. Саша съел 3 пирожка. Сколько осталось?
2.В небе зажглись 7 звёзд. Потом ещё 3 звезды. Сколько всего звёзд на небе?
3.В вазе 3 розы, а астр на 3 больше. Сколько в вазе астр?
4.На дереве 7 синиц, а ворон на 5 меньше. Сколько ворон на дереве?
5.В корзине всего 8 грибов. Из них 6 съедобных, а остальные – поганки. Сколько поганок в корзине?
6.Курочка снесла 8 яиц. Мышка 3 яйца разбила, потом курочка снесла ещё 4 яйца. Сколько стало?
7. Курочка снесла 8 золотых и 3 простых яйца. Каких яиц больше и на сколько?

Карточка №19.
1.В книге 9 страниц. Коля 4 страницы прочитал. Сколько осталось?
2.В вазе 3 гвоздики и 2 ромашки. Сколько всего?
3.Длина блокнота 9 сантиметров, а ширина на 2 сантиметра короче. Какова ширина?
4.В зоопарке 1 крокодил, а бегемотов на 2 больше. Сколько бегемотов?
5.На аэродроме 8 самолётов. Несколько улетели, осталось 4. Сколько самолётов улетели?
6. На аэродроме 8 самолётов. Прилетели 2, улетели 5. Сколько осталось?
7. На аэродроме 9 самолётов и 3 вертолёта. На сколько самолётов больше, чем вертолётов?

Карточка №20.
1.В небе 7 звёзд. 4 звезды погасли. Сколько осталось?
2.На ёлке 6 игрушек. Лада повесила ещё 1. Сколько стало?
3.Петя съел 4 груши, а Катя на 1 больше. Сколько съела Катя?
4.Коле 9 лет, Оля на 4 года моложе Коли. Сколько лет Оле?
5.На тарелке 7 ягод. Из них 3 вишни. Сколько слив?
6. На тарелке 7 ягод. Вова съел 3 ягоды, Настя съела 2 ягоды. Сколько осталось?
7. На тарелке 8 вишен и 5 слив. На сколько слив меньше, чем вишен?

Карточка №21.
1.Было 10 помидоров. Из 2 сделали салат. Сколько осталось?
2.У Насти 5 марок. У Веры – столько же. Сколько всего?
3. Лене 5 лет, а Лиля на 2 года старше. Сколько лет Лиле?
4.В левом кармане 6 рублей, а в правом на 1 рубль меньше. Сколько рублей в правом кармане?
5.Ира собрала 8 грибов. 2 из них – поганки. Сколько съедобных грибов?
6.Ира собрала 2 гриба, потом нашла ещё 4 гриба, 1 поганку выбросила. Сколько осталось?
7.В корзине 8 белых грибов и 2 поганки. На сколько поганок меньше, чем белых грибов?

Конфликтные ситуации в медицинской практике: Наиболее ярким примером конфликта врача и пациента является.

В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело с различного рода множествами и подмножествами: устанавливать их связь между элементами каждого, определять число множеств или их подмножеств, обладающих заданным свойством. Такие задачи приходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической телефонной связи, работы морских портов, при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, а также в лингвистике, в автоматической системе управления, значит и в теории вероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленными приложениями.

Поговорим об одном из разделов теории вероятности – комбинаторике.

Комбинаторика - ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных вариантов. Комбинаторика возникла в 17 веке. Долгое время она лежала вне основного русла развития математики.
С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов - во время работы.
Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника.
Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.
Комбинаторика как наука стала развиваться в 18 веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж.Кардано, Н.Тарталье (1499-1557), Г.Галилею (1564-1642) и французс- ким ученым Б.Паскалю (1623-1662) и П.Ферма.
Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г.Лейбниц в своей работе “ Об искусстве комбинаторики ”, опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин “комбинаторика”. Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер. В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика “добилась” новых успехов. В настоящее время в образовательный стандарт по математике включены основы комбинаторики, решение комбинаторных задач методом перебора, составлением дерева вариантов (еще его называют “дерево возможностей”) с применением правила умножения. Так, например, “дерево возможностей” помогает решать разнообразные задачи, касающиеся перебора вариантов происходящих событий. Каждый путь по этому “дереву” соответствует одному из способов выбора, число способов выбора равно числу точек в нижнем ряду “дерева”. Правило умножения заключается в том, что для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В. В задачах по комбинаторике часто применяется такое понятие как факториал (в переводе с английского “factor” - “множитель”).
Итак, произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут: n!=1 2 3 … (n-1) n
В комбинаторике решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

2) ЗАДАЧИ

Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей.

Примеры комбинаторных задач

№1. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе - мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье - чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?

Ответ:18

№2.Свете на день рождения подарили 4 плюшевых игрушки, 2 мяча и 5 кукол. Мама положила все игрушки в большую коробку. Сколькими способами Света сможет достать из коробки 1 плюшевую игрушку, 1 мяч и 1 куклу?

Решение. Используя правило комбинаторного умножения, получаем: 2х4х5= 40

Ответ:40

№3. К 60-летию Победы группа школьников отправилась по местам боевых действий в Смоленской области. Они планировали осуществить поход по маршруту деревни Сосновка-Быковка- Масловка- Видово. Из С в Б можно проплыть по реке или пройти пешком, из Б в М- пешком или на автобусе, из М в В - по реке, пешком или автобусе. Сколько вариантов похода есть у щкольников?

Обозначим СБ - путь из Сосновки в Бытовку, ВГ - путь из Быковки в Масловку, МВ - путь из Масловки в Видово.

По реке -Р, пешком - П, на автобусе - А

Перечислим возможные варианты:

СБР- БМП-МВР, СБР- БМП-МВП, СБР- БМП-МВА

СБР-БМА-МВР, СБР-БМА-МВП, СБР-БМА-МВА

СБА- БМП-МВР, СБА- БМП-МВП, СБА- БМП-МВА

СБА-БМА-МВР, СБА-БМА-МВП, СБА-БМА-МВА

Ответ: 12 вариантов.

№4. Учащиеся 9 классов изучают 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков из 5 различных предметов на один день.

Задача решается применением комбинаторного правила умножения.

Решение. Первый урок можно выбрать 14 способами, второй – 13 способами, третий – 12 способами, четвертый – 11 способами, пятый – 10 способами. Значит, расписание на один день можно составить14·13·12·11·10=227040 способами.

Ответ:227040

№5. Мисс Марпл, расследуя убийство, заметила отъезжающее от дома мистера Дэвидсона такси. Она запомнила первую цифру “2”. В городке номера машин были трехзначные и состояли из цифр 1,2,3,4 и 5. Скольких водителей, в худшем случае, ей придется опросить, чтобы найти настоящего убийцу?

Ответ:25

Перестановки

Перестановкой из n элементов называется последовательность, состоящая из всех элементов некоторого n-элементного множества, причем число элементов этой последовательности равно n. Характерные особенности понятия «перестановка» (существенные признаки понятия):

1.Задано некоторое множество из n элементов.

2. Составляется последовательность из всех элементов этого множества.

3. Эта последовательность содержит n элементов.

=n!

Примеры

№1. В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы.

Используя понятие факториала, получаем: =6!=1*2*3*4*5*6=720.

№2. Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова криминал,так что б пятое и седьмое места были согласные. Согласных 5 букв, поэтому пятую букву можно выбрать 5 способами, седьмую - 4. Всего 20 комбинаций. Остальные шесть букв, учитывая, что одна буква повторяется два раза можно разместить

Общее число вариантов 20 * 360 = 7200.

№3. В расписании сессии 3 экзамена (история, геометрия, алгебра). Сколько может быть вариантов расписаний?

№4.В автомашине 7 мест. Сколькими способами семь человек могут усесться в эту машину, если занять место водителя могут только трое из них?

Решение: Действие, которое должно быть выполнено особым способом, необходимо выполнять первым. Итак, на место водителя можно посадить только одного из трех человек (умеющего водить машину), т.е. существуют 3 способа занять первое место. Второе место может занять любой из 6 человек, оставшихся после того, как место водителя будет занято. И т.д. Используя принцип умножения, получаем произведение: 3 = 3 6! = 3 P₆.

№5. Сколькими способами можно расставить 8 ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

Размещения

Размещения-комбинаторные соединения, составленные из n элементов по k. При этом два соединения считаются различными, если они либо отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, либо состоят из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке. В отличие от сочетаний, размещения учитывают порядок следования предметов.

Формула для нахождения количества размещений =

№1. В районе построили новую школу. Из пришедших 25 человек нужно выбрать директора школы, завуча начальной школы, завуча среднего звена и завуча по воспитательной работе. Сколькими способами это можно сделать?

№2.Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различны и нечетны?

Читайте также: