Ящик со 100 игрушками содержит 10 игрушек с дефектами
Обновлено: 18.05.2024
Размещениями A n m из n элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо их порядком.
A m n n 1 n 2 n m 1
Пример. Сколько различных двузначных чисел можно составить из множества цифр 1; 2; 3; 4 , причем так, чтобы цифры числа были различны?
Решение. Искомое число чисел
Сочетаниями C n m из n элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга только составом элементов, порядок соединения элементов не важен.
Пример. Скольким числом способов можно в группе из 30 человек распределить три бесплатные путевки?
Решение. Искомое число способов
Следует отметить, что число размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством
A n m P m C n m .
При решении задач комбинаторики используют следующие правила.
П р а в и л о с у м м ы. Если некоторый объект а может быть выбран из совокупности объектов r способами, а другой объект в может быть выбран s способами, то выбрать либо а , либо в можно r + s способами.
П р а в и л о п р о и з в е д е н и я. Если объект а можно выбрать из совокупности объектов r способами и после каждого такого выбора объект в можно выбрать s спосо-
бами, то пара объектов (а, в ) в указанном порядке может быть выбрана rs способами.
Относительная частота. Статистические определения вероятности
Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит к основным понятиям теории вероятностей.
Относительной частотой события называют отно-
шение числа испытаний, в которых событие произошло, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная чистота события A определяется формулой
где m - число появлений события, n - общее число испытаний.
Сопоставляя определение вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительности частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта.
Пример. Отдел технического контроля обнаружил три нестандартных детали в партии из 80 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления нестандартных деталей
Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная
частота обнаруживает свойства устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа . Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.
Статистической вероятностью события A называет-
ся число, около которого группируются относительные чистоты этого события, причем при неизменных условиях и неограниченном возрастании числа испытаний относительная частота незначительно отличается от этого числа.
Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.
Пример. По данным государственной статистики РФ, относительная частота рождения девочек за последние десять лет характеризуется следующими числами (числа расположены в порядке следования начиная с 1990 г.):
0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,490; 0,482.
Относительная частота колеблется около числа 0,482, которое можно принять за приближенное значение вероятности рождения девочек.
Заметим, что статистические данные различных стран дают примерно то же значение относительной частоты.
Решение типовых задач Задача 1. Имеется 100 одинаковых деталей, среди ко-
торых 3 бракованных. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь без брака.
Решение. В этой задаче производится испытание – извлекается одна деталь. Число всех исходов испытания
равно 100, т. к. может быть взята любая деталь из 100. Эти исходы несовместны, равновозможны, единственно возможны. Таким образом, n 100. Событие A - появилась деталь без брака. Всего в партии 97 деталей без брака, следовательно, число исходов, благоприятных появлению
события А равно 97 . Итак, m 97. Тогда P A 100 97 0,97. Задача 2. Код банковского сейфа состоит из 6 цифр.
Найти вероятность того, что наудачу выбранный код содержит различные цифры?
Решение. Так как на каждом из шести мест в шестизначном шифре может стоять любая из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то всех различных шестизначных номеров по правилу произведения будет n 10 10 10 10 10 10 10 6 . Номера, в которых все цифры различны, - это размещения из 10 элементов (10 цифр) по 6. Поэтому число благоприятствующих исходов m A 10 6 . Искомая вероятность равна
В ящике находится $K$ стандартных и $N-K$ бракованных деталей (всего $N$ деталей). Наудачу и без возвращения вынимают $n$ деталей. Найти вероятность того, что будет выбрано ровно $k$ стандартных и $n-k$ бракованных деталей.
*Поясню, что значит "примерно": вместо деталей могут фигурировать изделия, болты, телевизоры и т.п.; детали могут быть стандартными и бракованными, или годными и дефектными, или обычными и поломанными и так далее. Главное, чтобы они были ДВУХ типов, тогда один тип вы считаете условно "стандартными", второй - "бракованными" и используете формулу для решения, которую мы выведем ниже.
Сначала найдем общее число исходов - это число всех различных способов выбрать любые $n$ деталей из общего множества в $N$ деталей (без учета порядка), то есть число сочетаний $C_N^n$ (см. подробнее про сочетания).
Теперь найдем число всех способов выбрать $k$ стандартных деталей из $K$ возможных - это сочетания $C_K^k$, и одновременно число всех способов выбрать $n-k$ бракованных деталей из $N-K$ возможных - $C_^$. По правилу произведения перемножая эти числа, получим число исходов, благоприятствующих нашему событию - $C_K^k \cdot C_^$.
Применяя классическое определение вероятности - поделив число благоприятствующих исходов на общее число исходов, придем к искомой формуле:
Видеоурок и шаблон Excel
Посмотрите наш ролик о решении задач про детали в схеме гипергеометрической вероятности, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.
Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.
Примеры решений задач о выборе деталей/изделий
Пример 1. В партии из 12 изделий 5 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными?
Популярная задача из методички, в которой меняются только цифры, а вариантов множество. С помощью данного решения и калькулятора ниже для числовых расчетов, вы легко получите полное решение задачи. Для разнообразия сделаем подробное пояснение.
Начинаем решение задачи с ввода события $A = $ (Из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными) и общей формулы для нахождения вероятности. Так как речь идет о выборе объектов из совокупности, используем классическое определение вероятности $P(A)=m/n$, где $n$ - общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ - число исходов, благоприятствующих событию $A$.
Сначала найдем общее число исходов - это число способов выбрать любые 4 изделия из партии в 12 изделий. Так как порядок выбора несущественнен, применяем формулу для числа сочетаний из 12 объектов по 4: $n=C_^4$.
Теперь переходим к числу благоприятствующих событию исходов. Для этого нужно, чтобы из 4 выбранных изделий 2 были дефектные (выбираем любые 2 дефектные изделия из 5 $C_5^2$ способами) и еще 2 - стандартные (выбираем любые 2 стандартные изделия из 12-5=7 имеющихся в партии $C_7^2$ способами). Тогда всего способов выбрать 2 дефектных и 2 обычных изделия из партии будет $m = C_5^2 \cdot C_7^2$.
Нужная вероятность равна:
Пример 2. В ящике 16 стандартных и 7 бракованных деталей. Наудачу извлечены 6 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных ровно 4 стандартных детали.
Пример 3. В партии из 12 изделий 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 3 наугад взятых есть хотя бы одно нестандартное.
Эта задача самую малость сложнее предыдущих. В ней помимо исходного события
$A = $ (Среди 3 наугад взятых изделий есть хотя бы одно нестандартное),
введем еще противоположное ему событие, которое можно записать как
$\overline = $ (Все три выбранные изделия стандартные).
Тогда вероятность искомого события (что будет хотя бы одно нестандартное изделие из 3), равна:
Пример 4. Мастер для замены получил 8 однотипных деталей, из которых 3 бракованные. Он заменил 2 детали. Найти вероятность того, что замененными оказались годные детали.
В ящике лежат 15 игрушек, среди которых 4 с дефектами.
Найти вероятность того, что среди 7 наудачу вынутых игрушек одна окажется с дефектом.
В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих карандашей?
В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих карандашей.
Наудачу вынимаются без возвращения 2 карандаша.
Найти вероятность того, что окажется не вынутым синий карандаш.
В ящике лежат 10 шариков , 3 из которых белые?
В ящике лежат 10 шариков , 3 из которых белые.
Какова вероятность того, что вынутый наугад шар окажется белым.
В урне 10 шаров, 8 белых и 2 черных?
В урне 10 шаров, 8 белых и 2 черных.
Найти вероятность того, что среди вынутых наудачу 6 шаров окажется не более одного черного цвета.
В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая?
В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая.
Из конверта наудачу извлечены 5 карточек.
Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.
В вазе у торговки цветами стоят 15 гвоздик, среди которых 3 гвоздики имеют скрытый дефект?
В вазе у торговки цветами стоят 15 гвоздик, среди которых 3 гвоздики имеют скрытый дефект.
Покупатель наудачу покупает 3 гвоздики.
Какова вероятность того, что ему достанется ровно одна гвоздика с дефектом?
Ящик содержит 10 деталей, среди которых 3 стандартных ?
Ящик содержит 10 деталей, среди которых 3 стандартных .
Найти вероятность того , что из наудачу отобранных 5 деталей окажется не более одной стандартной.
Среди 450 ёлочных игрушек 60 игрушек оказались бракованными?
Среди 450 ёлочных игрушек 60 игрушек оказались бракованными.
На вероятной шкале отметьте вероятность появления бракованных игрушек.
В конверте среди 100 фотографий находится разыскиваемая фотография?
В конверте среди 100 фотографий находится разыскиваемая фотография.
Из конверта наудачу извлечены десять фотографий.
Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.
В конверте среди 50 фотокарточек находится одна разыскиваемая?
В конверте среди 50 фотокарточек находится одна разыскиваемая.
Из конверта наудачу извлечены 4 карточек.
Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.
При сборке в среднем 2% механизмов оказываются с дефектами?
При сборке в среднем 2% механизмов оказываются с дефектами.
Контролер проверяет взятые наудачу 6 механизмов.
Определить вероятность того, что среди них с дефектами окажется не более одного механизма.
Вы открыли страницу вопроса В ящике лежат 15 игрушек, среди которых 4 с дефектами?. Он относится к категории Математика. Уровень сложности вопроса – для учащихся 10 - 11 классов. Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ, можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Математика, воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.
Пример 13. В ящике 10 перенумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10?
Решение. Так как номер любого шара, находящегося в ящике, не превышает 10, то число случаев, благоприятствующих событию , равно числу всех возможных случаев, т.е.
В этом случае событие достоверно.
Пример 14. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?
Решение. Синих шаров в урне нет, т.е. , а . Следовательно, . В данном случае событие - невозможное.
Пример 15. В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны черный шар?
Пример 16. В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров. Найти вероятность того, что среди наугад вынутых 5 шаров 3 будут черными.
Решение. Событие – из 5 вынутых шаров три будут черными. Применим классическую формулу вероятностей
Чтобы вычислить общее число исходов, необходимо вычислить количество способов выбора 5 шаров из всех шаров урны, т.е. из 20. Т.к. порядок извлечения шаров не важен, то используем формулу сочетаний без повторений .
Определим число благоприятных исходов событию .
Оставшиеся 2 шара должны быть белыми, т.е. . По правилу умножения получим .
Пример 17. Дано шесть карточек с буквами Н, М, И, Я, Л, О. Карточки перемешивают, берут по одной и кладут последовательно рядом.
Найти вероятность того, что:
а) получится слово ЛОМ, если наугад одна за другой выбираются три карточки.
б) получится слово МОЛНИЯ, если выбраны все карточки.
Решение.
а) Из 6-ти данных букв можно составить трехбуквенных слов. Мы используем размещения, т.к. важен порядок извлекаемых букв, . Слово ЛОМ появится только в одном случае .
б) Шестибуквенные слова отличаются только порядком их расположения, поэтому общее количество вариантов рассчитывается по формуле перестановок . Слово МОЛНИЯ получится только в одном из этих случаев, т.е. , следовательно,
Задачи для самостоятельного решения
1. Сколько существует четных пятизначных чисел, начинающихся нечетной цифрой?
2. Сколькими способами можно обить 8 стульев, если имеется 3 вида ткани. Считать, что все стулья одинаковые.
3. Сколькими способами можно выбрать наборы, состоящие из 2 карандашей и 3 ручек из пяти различных карандашей и шести различных ручек?
4. Кодовый замок может содержать любые 4 цифры. Каких кодовых номеров больше: в которых все цифры разные или в которых имеются хотя бы 2 одинаковые цифры.
5. 9 команд участвуют в спортивных соревнованиях. Сколькими способами могут быть распределены первые три места.
6. 6 туристов желает остановиться в гостинице, в которой 7 свободных номеров. Сколькими способами их можно расселить, если 4 желают жить в отдельных номерах и 2 в одном номере.
7. В лифте едут 4 человека. При этом каждый может сойти на любом из 5 этажей. Сколько различных комбинаций выхода из лифта имеется.
8. В вагоне имеется 6 свободных мест по ходу движения и 5 – против хода. Вошли 5 пассажиров. Из них 3 желают ехать по ходу движения, 2 - против хода. Сколькими способами они могут разместиться.
9. Одновременно подбрасываются две монеты. Перечислите все возможные исходы. Какова вероятность выпадения двух гербов? Герба и решки?
10. Подбрасываются три монеты. Какова вероятность выпадения трех гербов? Герба и двух решек? Хотя бы одного герба?
11. Игральная кость подбрасывается один раз. Какова вероятность того, что число выпавших очков кратно трем?
12. Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность того, что число выпавших очков больше двух.
13. Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность того, что число выпавших очков равно семи.
14. Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна пяти, а произведение четырем.
15. Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков равно шести.
16. На шести карточках написаны буквы У, Т, Ф, Б, Л, О. Карточки перемешивают, берут по одной и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово ФУТБОЛ?
17. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: В, М, Ч, Р, А, Т. Карточки перемешивают. Найти вероятность того, что на четырех вынутых по одной и расположенных слева направо карточках можно прочесть слово ВРАЧ.
18. Фотограф располагает в ряд одного мальчика и двух девочек случайным образом. Какова вероятность того, что на фотографии девочки и мальчики будут чередоваться?
19. В клетке 40 мышей, из них 12 белых. Найти вероятность того, что среди извлеченных четырех мышей половина белых.
20. В группе студентов 7 юношей и 5 девушек. Для дежурства отобраны шесть человек. Какова вероятность того, что среди отобранных окажутся четверо юношей?
21. Из партии в 1000 деталей контролер отобрал для проверки 50. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей не окажется бракованных, если во всей партии их четыре.
22. Из шести карточек с буквами Л, И, Т, Е, Р, А наудачу выбирают последовательно четыре. Какова вероятность того, что при этом получится слово ТИРЕ?
23. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры, и помня лишь, что эта цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
24. В фирме работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что средиотобранных лиц окажутся 3 женщины.
25. Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 1 мужчина.
26. На полке расставляют наудачу 7 книг. Найти вероятность того, что 2 определенные книги окажутся рядом.
28. В группе 12 студентов, среда которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 5 отличников. Бросают 3 игральные кости. Найти вероятность того, что на всех выпадет одинаковое число очков.
29. Группа из 10 мужчин и 10 женщин делится случайным образом на две равные части. Найти вероятность того, что в каждой части мужчин и женщин одинаково.
30. В комнате 15 мест. Найти вероятность того, что из 10 человек 5 займут определенные места, если места занимаются ими случайным образом.
31. Для производственной практики на 30 студентов предоставлено 15 мест в Рязани, 8 - в Тамбове и 7 - в Воронеже. Какова вероятность того, что два определенных студента попадут на практику в одни город?
32. Брошены три одинаковых игральных кости. Найти вероятность того, что цифра 6 появится хотя бы на одной грани.
33. В партии из 10 изделий имеется 4 бракованных. Наугад выбирают 5 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 5 изделий окажется 3 бракованных.
34. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75; для второго - 0,8; для третьего - 0,9. Найти вероятность того, что: а) все три стрелка попадут в цель; б) только одни стрелок попадет в цель.
35. В ремонтной мастерской имеются 8 мастеров, из которых 5 высшей категории и 3 первой. Для выполнения задания случайно отобрали 4 мастера. Какая вероятность, что среди них 2 высшей категории?
36. Из коробки, в которой 20 деталей без дефектов в 5 с дефектами, 6ерут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность того, что, по крайней мере, одна деталь без дефекта?
37. Слово «карета», составленное из букв-кубиков, рассыпано на отдельные буквы, которые затем сложены в коробке. Из коробки наугад извлекают буквы одну за другой. Какова вероятность получить при таком извлечении слово «ракета»?
38. Производится стрельба по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле 0,7. Найти вероятность того, что по мишени будет произведено не менее трех выстрелов, если после первого попадания стрельба прекращается.
39. В гостинице имеется 7 свободных номеров. В нее собирается поселиться 2 человека. Какая вероятность, что они будут жить в соседних номерах, если их номера выбираются случайно.
40. Ящик содержит 10 деталей, среди которых 3 стандартных. Найти вероятность того, что из наудачу отобранных 5 деталей окажется не более одной стандартной.
41. Брошены две одинаковых игральных кости. Найти вероятность того, что цифра 6 появится хотя бы на одной грани.
42. Для поражения цели достаточно попадания хотя бы одного снаряда. Произведено два залпа из двух орудий. Найти вероятность поражения цели, если вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,3, а из второго - 0,4.
43. В урне лежит 12 белых и 8 красных шаров. Вынули 8 шаров. Какова вероятность того, что три из них красные?
44. В экономическом отделе фирмы 7 менеджеров и 5 финансистов. Для выполнения задания были отобраны 4 человека. Какая вероятность, что среди них 3 менеджера?
в группе из 1 О студентов, приmедmиx на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 - хорошо, 2 - посредственно, 1 - плохо. В экзаменационных билетах 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, xopo~o подготовленный на 16 вопросов, посредственно - на 1 О вопросов, плохо - на 5 вопросов. выбранный наугад студент ответил на все три вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен отлично.
Телефонная книга раскрывается наудачу и выбирается случайный номер телефона.
Считая, что телефонные номера состоят из 7 цифр, причем все комбинации цифр равновероятны, найти вероятности следующих событий: А =< сумма двух последних цифр равна сумме двух предпоследних>, В - .
Случайная точка А наудачу выбирается в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. Найти вероятность того, что расстояние от точки А до каждой диагонали прямоугольника не превосходит 1/4.
В кондитерском магазине продавались три сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные. Покупатель купил 5 пирожных. Какова вероятность того, что он купил пирожные двух сортов?
Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судья принимают правилъные решения с вероятностью 0,9 независимо друг от друга. Третий судья поступает следующим образом: если двое первых судей принимают одинаковые решения , то он к ним присоединяется, если же решения первых двух судей разные, то он бросает монету, Какова вероятность принятия правильного решения у такого жюри?
Считая вероятность рождения мальчика равной 0,5, найти вероятность того, что в семье с 10 детьми число мальчиков не меньше 4 и не больше7.
Из колодыI 36 карт последовательно вынуть! две KapтыI. Найти: а) безусловную вероятность того, что вторая карта окажется тузом ( неизвестно какая карта была вынута первой); б) условную вероятность того, что вторая карта будет тузом, если первая карта туз.
Производится 4 независимых выстрела по резервуару с горючим. Каждый снаряд попадает в резервуар с вероятностью 0,5. Если в резервуар попадает один снаряд, горючее воспламеняется с вероятностью 0,8; если два снаряда - с полной достоверностью. Найти вероятность, что при четырех выстрелах горючее воспламенится.
Вероятность зарегистрировать частицу счетчиком равна 10-4. Какое наименьшее число частиц должно вьшететь из источника, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, счетчик зарегистрировал более трех частиц?
Монета подбрасьmается 5 раз. Рассматривается случайная величина Х - число выпавших гербов. Построить ряд распределения этой случайной величины и найти ее математическое ожидание.
Колоду карт ( 36 листов) разделяют на две равные пачки. Чему равна вероятность того, что : а) в каждой пачке окажется по два туза; б) в пачках окажется по равному числу красных карт?
На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 10см. На плоскость наудачу брошена монета радиуса 2см. С какой вероятностью монета пересечет одну из прямых?
Из урны, содержащей 8 занумерованных шаров, извлекают все шары без возвращения.
Какова вероятность того, что по крайней мере для четырех шаров номер шара совпадет с номером извлечения.
В урне два белых и три черных шара. Два игрока поочередно вьmимают из урны по шару, не вкладьmая их обратно. Выигрьmает тот, кто раньше получит белый шар. Найти вероятность того, что выиграет первый игрок.
Два человека независимо друг от подбрасывают монету. Какова вероятность того, что у них вьшадет одинаковое число гербов?
Из полной колоды карт (52 листа) вьmимают одновременно 4 карты. Одну из них смотрят. Она оказалась королем. После этого ее перемешивают с остальными вьшутыми картами. Найти вероятность того, что повторный выбор из этих карт опять даст короля.
Имеются две партии однородных изделий.; первая партия состоит из 50 изделий, из которых 2 дефектных; вторая - из 100 изделий, из которых 1 О дефектных. Из первой партии берут 5 изделий, а из второй 1 О изделий. Эти 15 изделий смешиваются и образуется новая партия. Из новой партии берется наугад изделие. Найти вероятность того, что это изделие будет дефектным.
Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрелкрв равны 0,5, 0,7, 0,9 соответственно. Какова вероятность того, что первый стрелок промахнулся, если после выстрелов в мишени оказалась одна единственная пробоина?
Телефонная станция А, обслуживающая 2000 абонентов, должна соединять их с другой телефонной станцией В. Какое наименьшее число линий должно связьmать А с В, чтобы в 99% случаев вызовов нашлась свободная линия? Пусть в течение наиболее
напряженного часа дня каждый абонент разговаривает с В в среднем две минутыI. •
Проводится 5 независимых опытов, в каждом из которых бросаются две кости.
Рассматривается событие А = < появление одинакового числа очков на обеих костях >. Случайная величина Х - число появлений противоположного А события в серии из пяти испьпанИЙ. Построить ряд распределения для случайной величины Х и найти ее математическое ожидание.
Какое наименьшее число карт надо взять из колоды (52 листа), чтобы с вероятностью более 0,5 среди них встретились хотя бы две карты одного наименования?
для некоторой окружности случайным образом выбирается хорда. Найти вероятность того, что эта хорда длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в данную окружность, если одним концом хорды является фиксированная точка на окружности, другой конец выбирается наудачу на окружности.
В урне 2 белых, 3 черных и 5 красных шаров. Три из них выбираются наудачу. Найти вероятность того, что хотя бы два из них будут одноцветными
Десять рукописей разложены по сорока папкам( на одну рукопись приходится 4 папки ).
Найти вероятность того, что в случайно отобранных 8 папках не содержится целиком ни одна рукопись.
При въезде в новую квартиру в осветительную сеть было включено 1 О новых электролампочек. Каждая электролампочка в течение года может перегореть с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что в течение года придется заменить не менее половины электролампочек.
В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров. Какова вероятность того, что вьшуты шары разного цвета, если известно, что среди них нет синего.
Из полного набора костей домино (28 штук) выбирают наудачу две кости. Какова вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой?
Партия микросхем, среди которых 5% брака, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 обнаруживает дефект (если он есть), и существует ненулевая вероятность 0,05 того, что исправная микросхема будет признана дефектной. Наудачу выбранная микросхема бьта признана дефектной. Какова вероятность, что на самом деле она исправна.
Дворцовый чеканщик кладет в каждый ящик вместимостью 100 монет одну фальшивую.
Король подозревает чеканщика и подвергает монеты проверке, выбирая по одной в каждом ящике. Какова вероятность того, что чеканщик не будет разоблачен?
Куб, все грани которого окрашены распилен на 64 кубика одного размера. Кубики тщательно перемешивают и затем выбирают из них наудачу 4 кубика. Случайная величина Х - число неокрашенных ни с одной стороны кубиков. Построить ряд распределений для случайной величины Х и найти ее математическое ожидание.
В гостинице имеется 6 отдельных номеров. На эти шесть номеров есть 1 О претендентов: 6 мужчин и 4 женщины. Гостиница следует политике" при шедший раньше - обслуживается раньше ". Какова вероятность следующих собьпий: а) номера получат четверо мужчин и две женщины; б) все шесть претендентов мужского пола получат номера и ни одна женщина не получит номера?
На бесконечную шахматную доску со стороной клетки 10см брошена игла длиной 4см. какой вероятностью игла целиком попадет во внутрь клетки?
В компании из 8 человек решили сделать друг другу подарки, для чего каждый принес подарок. Все подарки сложили вместе, перемешали и случайно распределили среди участников. Найти вероятность того, что хотя бы один подарок вернется к своему владельцу.
В лифт девятиэтажного дома вошли трое. Каждый из них с равной вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятность того, что для выхода пассажиров лифт останавливался дважды.
Человек, принадлежащий к определенной группе населения, с вероятностью 0,2 оказывается брюнетом, с вероятностью 0,3 - шатеном, с вероятностью 0,4 блондином и с вероятностью 0,1 - рыжим. Выбирается наугад группа из шести человек. Найти вероятность того, что в этой группе число блондинов будет равно числу шатенов.
Два игрока играют в безобидную игру ( у обоих шансы победить одинаковы ), и они договорились, что тот, кто первым вьшграет 6 партий, получит весь приз. Предположим, что игра остановилась до того, как один из них вьшграл приз, например, первый игрок вьшграл 5 партий, а второй - 3. Как следует справедливо разделить приз?
В шкафу стоят однотипные приборы, из которых 5 новых и 7 уже бывших в эксплуатации. Выбирают наугад два прибора и эксплуатируют их в течение некоторого времени, после чего возвращают в шкаф. Затем вторично выбирают наугад два прибора. Найти вероятность того, что оба вторично выбранных прибора -новые.
Испытьmается прибор, состоящий из двух узлов. Надежности (вероятности безотказной работы прибора в течение времени 't ) известны и равны 0,8 0,9 соот:ветствеюю. Узлы отказьmают независимо друг от друга. ПО истеqени>< врем;ени 't прибор отказал. Найти вероятность того, причина неисправности прибора - отказ обоих узлов.
Найти вероятность того, что среди 1 О 000 случайных цифр цифра 7 появится не более 968 раз.
Ящик со 100 игрушечными автомобилями содержит 10 дефектных игрушек. Из ящика случайным образом выбирают 5 игрушек. Случайная величина Х - число игрушек с дефектами среди 1 О выбранных. Построить ряд распределения для случайной величины Х и найти ее математическое ожидание.
При игре в бридж колода из 52 карт раздается четырем игрокам по 13 карт каждому.
Какова вероятность того, что при игре в бридж у одного из игроков окажется : а) не менее семи карт какой-нибудь масти, из которых семь карт составляют "роял - флеш" : туз, король, дама и т.д. до восьмерки; б)игрок получит два роял - флеша по 5 карт, а две оставшиеся карты будут любыми.
Случайная точка А наудачу выбирается в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. Найти вероятность того, что расстояние от точки А до каждой стороны прямоугольника не превосходит 1,7.
Семь томов произведений Достоевского случайным образом расставляются на полке.
Найти вероятность того, что хотя бы для одного тома порядковый номер расположения его на полке совпадет с номером тома.
Ведется стрельба по самолету, уязвимыми частями которого являются два двигателя и кабина пилота. для того, чтобы вьmести из строя самолет, достаточно поразить оба двигателя вместе или кабину пилота. При данных условиях стрельбы вероятность поражения двигателя равна 0,3, второго двигателя 0,2, кабины пилота 0,6. Части самолета поражаются независимо друг от друга. Найти вероятность, что самолет будет поражен.
Пусть вероятность попадания в цель равна 0,25. Производится 10 независимых выстрелов. Какова вероятность попасть в цель по крайней мере дважды?
Брошены три игральные кости. Событие А состоит в том, что на одинаковое число очков вьшало на первой и второй костях, В - одинаковое число очков вьтало на второй и третьей костях, а С - на первой и третьей. Проверить, зависимы ли собьпия А, В и С: а) в совокупности; б) попарно.
Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, вынимают наудачу три шара и перекладьmают во вторую урну, содержащую 5 белых и 5 черных шаров. Найти вероятность вьшуть после этого из второй урны черный шар.
Первое орудие двухорудийной батареи пристреляно таким образом, что вероятность попадания из него равна 3 /l О, а для второго орудия она равна /5. Батарея дала два залпа, причем одно из орудий дало только один выстрел; бьшо получено одно попадание и два промаха. Какова вероятность того, что один выстрел дало первое 0рудие.
При 14 400 бросаниях монеты герб вьтал 7377 раз. Как вероятно столь большое или большее уклонение числа вьтаданий герба от n / 2 ?
Торговец получает 10 HOBbIX радиоприемников. Он будет проверять их случайным образом до тех пор, пока не найдет радиоприемника, который работает хорошо. Случайная величина Х - общее число проверенных приемников. Построить ряд распределения для случайной величины Х и найти ее математическое ожидание.
В купейный вагон (9купе по 4 места) семи пассажирам продано семь билетов. Найти вероятность того, что оказались занятыми а) ровно два купе; б) ровно три купе.
На паркетный пол в форме равносторонних треугольников со стороной а падает монета радиуса r. Найти вероятность того, что монета пересечет две стороны треугольника.
Десять шариков случайным образом разбрасываются по четырем лункам. Найти вероятность того, что в первые две лунки попадет по четыре шарика, а в две последние по одному.
В урне 2 белых и 3 черных шара. Два игрока поочередно вьшимают из урны по одному шару, каждый раз вкладывая его обратно. Вьшгравшим считается тот, кто раньше вьшет белый шар. Найти вероятность того, что выиграет игрок, первым вынимавший шар.
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 1 / 5. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?
Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8, если известно, что эта сумма есть число кратное четырем?
Из 25 экзаменационных билетов студент знает только 5. В каком случае вероятность вынуть" счастливый билет" вьппе: когда студент берет билет первым или вторым?
Четыре грани игральной кости А красные и две - белые; у кости В три грани красные и три грани - белые. Один раз бросают монету. Если вьшал герб, то все время бросают только кость А, если решка - только кость В. Первые три испытания дали красные грани. Какова вероятность, что бросалась кость В?
Некоторая машина состоит из 1 О 000 деталей. Каждая деталь независимо от других деталей может оказаться с вероятностью pi неисправной. -Причем для n 1 = 1000 деталей Рl = 0,0003, для n 2 = 2000 деталей Р2 = 0,0002 и для n з = 7000 деталей рз = 0,0001. Машина не работает, если в ней не работает хотя бы две детали. Найти вероятность того, что машина не будет работать.
Некто купил карточку Спортлото и отметил 6 из имеющихся в ней 49 номеров.
Случайная величина Х - число верно угаданных номеров. По строи ь ряд распределения для случайной величины Х и найти ее математическое ожидание.
В чулане лежит 6 пар ботинок. Случайно выбираются 4 ботинка. Какова вероятность того, что среди них а)не будет ни одной пары; б) будет хотя бы одна пара.
На плоскость с нанесенной на нее квадратной сеткой многократно бросается монета диаметра d , в результате чего установлено, что в 40% случаев монета не пересекает ни одной стороны квадрата. Оценить размер сетки.
Десять шариков случайным образом распределяются по пяти лункам. Найти вероятность того, что в одной из лунок ( все равно какой) будет 3 шарика, в другой 4 шарика, в остальных по одному шарику.
За некоторый промежуток времени амеба может погибнуть с вероятностью 1 /4, выжить с вероятностью 1 / 4 и разделиться с вероятностью 1 / 2. В следующий такой же промежуток времени с каждой амебой независимо от ее "происхождения " происходит то же самое. Найти вероятность того, что к концу второго промежутка времени в пробирке будет три амебы, если первоначально амеба бьша одна.
Вероятность получения удачного результата при про ведении сложного химического опыта равна 1/5. Найти вероятность того, что в серии из 10 опытов удачных будет более половины.
Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой кости вьmало 5 очков, если известно, что на второй кости вьmало меньше очков, чем на первой?
Из колоды карт (36 листов) достают две. Какова вероятность того, что вторая карта покрывает первую?
Пассажир может обратится за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в кассу зависят от ее местоположения и равны 0,2; 0,3; 0,5. Вероятности того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся' в кассе билеты будут распроданы, равны: для первой кассы 0,6, для второй 0,2, для третьей 0,9. Пассажир направился в одну из касс за билетом и приобрел билет. Найти вероятность того, что это бьша первая касса.
Берут два сосуда А и В, каждый по из них имеет объем 1 дмЗ и содержит 2,7·1022 молекул газа. Эти сосуды приведены в соприкосновение так, что между ними происходит свободный обмен молекулами. Чему равна вероятность того, что через сутки в одном из сосудов молекул окажется по меньшей мере на одну десятимиллиардную часть больше, чем в другой?
Бросают две кости. Случайная величина Х - сумма очков, вьmавших на костях.
Построить ряд распределения для случайной величины Х и найти ее математическое ожидание.
Читайте также: