Для чего конструкторы применяют секущие плоскости
Обновлено: 19.04.2024
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Тема 9: «Сечения»
9.1 Назначение сечений, правила выполнения
9.2 Построение наклонных сечений
9.3 Графическая работа №9 «Построение наклонного сечения» (рекомендации по выполнению)
9.1 Назначение сечений, правила выполнения
Форма многих деталей с достаточной полнотой не выявляется видами-изображениями обращенной к наблюдателю видимой поверхностью предмета, поэтому в черчении пользуются и такими изображениями, как сечение и разрезы.
Форму ручки плоскогубцев (рис. 9.1) нельзя определить по чертежу, содержащему лишь виды. Для выявления поперечной формы ручки, которая изогнута, необходимо применить сечения.
Сечением называют изображение фигуры, получающейся при мысленном рассечении предмета одной или несколькими плоскостями. На сечении показывают только то, что находится в секущей плоскости.
Секущей плоскостью называют вспомогательную плоскость, которой мысленно рассекают деталь.
Сечения применяют, в основном, чтобы показать поперечную форму предмета.
Рисунок 9.1 – Деталь, для выявления формы которой необходимо сечения
На сечениях показано лишь то, что находится в самой секущей плоскости; что расположено за секущей плоскостью, не показывают. Фигуру сечения на чертеже выделяют штриховкой для того, чтобы отличить на детали мысленно образованные поверхности от существующих. Штриховку наносят тонкими линиями. Наклонные параллельные линии штриховки проводят под углом 45º к линиям рамки чертежа. Расстояние между линиями должно быть 1-10 мм (для металла) (рис. 9.2, б) и одинаковым для всех сечений одной детали на данном чертеже. Наклон штриховки допускается как влево, так и вправо (рис. 9.2, а).
Рисунок 9.2 – Штриховка сечений (для металлов и твердых сплавов)
9.2 Построение наклонных сечений
При выполнении чертежей деталей приходится нередко применять наклонные сечения.
При решении таких задач необходимо, прежде всего, уяснить: как должна быть расположена секущая плоскость и какие поверхности участвуют в сечении для того, чтобы деталь читалась лучше. Рассмотрим примеры.
Дана четырехгранная пирамида, которая рассекается наклонной фронтально-проецирующей плоскостью А-А (рис.9.3). Сечением будет четырехугольник.
Рисунок 9.3 – Построение фигуры сечения
Сначала строим проекции его на фронтальную и горизонтальную плоскости проекций. Фронтальная проекция совпадает с проекцией плоскости, а горизонтальную проекцию четырехугольника строим по принадлежности пирамиде.
Затем строим натуральную величину сечения. Для этого вводится дополнительная плоскость проекций, параллельная заданной секущей плоскости А-А, на нее проецируем четырехугольник, а затем совмещаем его с плоскостью чертежа.
Построения выполняются в следующей последовательности (рис.9.3):
− На свободном месте чертежа проводим осевую линию, параллельную плоскости А-А.
− Из точек пересечения ребер пирамиды с плоскостью проводим проецирующие лучи, перпендикулярно секущей плоскости. Точки 1 и 3 будут лежать на линии, расположенной перпендикулярно осевой.
− Расстояние между точками 2 и 4 переносится с горизонтальной проекции.
Аналогично строится истинная величина сечения поверхности вращения – эллипс (рис.9.4).
Рисунок 9.4 – Построение фигуры сечения
Расстояние между точками 1 и 5 - большая ось эллипса. Малую ось эллипса надо строить путем деления большой оси пополам (3-3).
Расстояние между точками 2-2, 3-3, 4-4 переносятся с горизонтальной проекции.
Задание для самостоятельной работы:
Задание 9.1: Построить натуральную величину фигуры сечения сложной по форме детали (рис. 9.5 а и б). Алгоритм построения наклонного сечения представлен на рисунках 9.5 - 9.12.
Рисунок 9.5 – Пример построения натуральной величины фигуры сечения «выступа»
Рассмотрим построение наклонного сечения "выступа" призматической формы, входящего в состав сложной детали. Его размеры 40×60×80 мм произвольной наклонной плоскостью. Секущая плоскость разрезает его по точкам 1-2-3-4.
Перейдем к построению натурального вида фигуры сечения.
1. Первым делом проведем ось сечения. Ось следует чертить параллельно плоскости сечения - параллельно линии, в которую проецируется плоскость на главном виде.
2. На оси откладываем длину сечения (L). Размер L определяется на главном виде и равен расстоянию от точки вхождения сечения в деталь до точки выхода из нее.
3. Из получившихся двух точек на оси перпендикулярно ей откладываем ширины сечения в этих точках. Ширину сечения в точке вхождения в деталь и в точке выхода из детали можно определить на виде сверху. В данном случае оба отрезка 1-4 и 2-3 равны 60 мм. Как видно из рисунка выше, края сечения прямые, поэтому необходимо соединить получившиеся отрезки, получив прямоугольник 1-2-3-4. Это и есть - натуральный вид фигуры сечения призмы наклонной плоскостью.
«Основание» данной детали имеет также призматическую форму, габаритные размеры которого 120×80×20 мм, а так же имеются ребра жесткости между «основанием» и «выступом». Проведем секущую плоскость так, чтобы она проходила через все четыре элемента фигуры (через основание, выступ и два ребра жесткости). На рисунке 9.6 вы можете увидеть три вида и наглядное изображение этой детали.
Рисунок 9.6 – Три вида и наглядное изображение детали
Построим натуральный вид этого наклонного сечения. Начнем с оси сечения: проведем ее параллельно плоскости сечения обозначенного на главном виде. На ней отложим длину сечения равную А-Е. Точка А является точкой входа сечения в деталь, а в частном случае - точкой входа сечения в «основание». Точкой выхода из «основания» является точка В. Отметим точку В на оси сечения. Аналогичным образом отметим и точки входа-выхода в «ребро», в "выступ" и во второе «ребро». Из точек А и В перпендикулярно оси отложим отрезки равные ширине «основания» (в каждую сторону от оси по 40, всего 80мм). Соединим крайние точки - получим прямоугольник, являющийся натуральным видом сечения «основания» детали (рис.9.7).
Рисунок 9.7 – Натуральный вид сечения «основания» детали
Теперь построим кусочек сечения, являющийся сечением «ребра» детали. Из точек В и С отложим перпендикуляры по 5 мм в каждую сторону - получатся отрезки по 10 мм. Соединим крайние точки и получим сечение «ребра».
Рисунок 9.8 – Построение сечения «ребра»
Из точек С и D откладываем перпендикулярные отрезки равные ширине «выступа» - аналогичное построение показано на рисунке 9.5 и 9.9.
Рисунок 9.9 – Построение сечения «выступа»
Отложив перпендикуляры из точек D и Е равные ширине второго ребра и соединив крайние точки получим натуральный вид его сечения.
Рисунок 9.10 – Построение сечения второго «ребра»
Остается стереть перемычки между отдельными элементами получившегося сечения и нанести штриховку.
Рисунок 9.11 – Построение сечения второго «ребра»
Если же по заданному сечению произвести разделение фигуры, то мы увидим следующий вид:
Рисунок 9.12 – Наглядное изображение детали с наклонным сечением
9.3 Графическая работа №9 «Построение наклонного сечения» (рекомендации по выполнению)
Целью данной работы является приобретение навыков выполнения чертежей деталей сложной формы, умений применять полученные знания, выполняя фигуры сечения, их обозначение. При вычерчивании таких деталей, необходимо иметь навыки проекционного черчения.
Алгоритм выполнения работы аналогичен тому, который описан в разделе 9.2.
Задание: По двум проекциям построить третью. Выполнить наклонное сечение Б-Б.
Выполнить графическую работу в соответствии с образцом. Образец выполнения работы представлен на рисунке 9.13. Варианты заданий представлены в приложении А данного пособия.
Работа выполняется на чертежной бумаге формата А3 (297×420 мм). Размещение листа может быть альбомным или книжным (по усмотрению студента, выполняющего работу).
Рисунок 9.13 – Образец выполнения Графической работы №9
Вопросы для самоконтроля:
1. Какое изображение называют сечением?
2. Для чего применяют сечения?
3. Как подразделяются сечения в зависимости от их расположения на чертеже?
4. Линиями какой толщины обводят контур наложенного и вынесенного сечения?
5. Как и для чего штрихуют сечения?
6. Показывают ли в сечении то, что расположено за секущей плоскостью ?
7. В каких случаях сечение сопровождают надписью? Какие буквы используют для этого?
8. Как изображают линию сечения? Каково начертание разомкнутой линии?
9. Как показывают в сечении контур отверстия, если секущая плоскость проходит через ось тела вращения?
10. Как обозначают несколько одинаковых сечений, относящихся к одному предмету?
11. Где по отношению к обозначению сечения пишут слово "повернуто" при выполнении сечения с поворотом?
Пересечение поверхностей. Метод секущих сфер.
Для определения линии пересечения двух произвольных поверхностей вращения целесообразно воспользоваться одним свойством, присущим поверхностям вращения, которое состоит в том, что две любые соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, проходящим через точки пересечения меридианов поверхностей.
В частном случае, если одна из поверхностей вращения – сфера, приведенное выше предложение может быть сформулировано иначе: если центр секущей сферы находится на оси поверхности вращения, то сфера пересечет данную поверхность по окружностям, число которых равно числу точек пересечения главных меридианов поверхностей.
Построить линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих сфер можно двумя способами:
1. Способом концентрических сфер;
2. Способом эксцентрических сфер.
Способ концентрических сфер.
Этот способ применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются. Для упрощения графического решения необходимо, чтобы плоскость, определяемая осями поверхностей вращения, была параллельной какой0либо плоскости проекции.
Способ эксцентрических сфер.
Способ эксцентрических сфер может быть использован для построения линии пересечения двух поверхностей, имеющих общую плоскость симметрии. При этом каждая поверхность, имеющих общую плоскость симметрии. При этом каждая поверхность должна иметь семейство окружностей. Как и в способе концентрических сфер, плоскость симметрии должна быть параллельна одной из плоскостей проекции.
Способ эксцентрических сфер можно применять и в тех случаях, когда из пересекающихся поверхностей не является поверхностью вращения. Необходимым условием является наличие на этой поверхности семейства окружностей, которые можно рассматривать как результат пересечения поверхности со сферой. В число условий входит также условие, чтобы перпендикуляры, восстановленные из центров круговых сечений, пересекали ось поверхности вращения.
Пересечение поверхностей. Метод секущих плоскостей.
В качестве поверхностей-посредников используют секущие плоскости. Этот способ применяется в тех случаях, когда можно найти в качестве поверхностей-посредников такие плоскости, которые пересекали бы обе заданные поверхности по геометрически простым линиям — окружностям и прямым (рис. 21). Чаще всего в качестве вспомогательных секущих плоскостей выбираются плоскости уровня, то есть плоскости, параллельные плоскостям проекций. Следует отметить, что способ вспомогательных секущих плоскостей применяется во всех случаях, то есть каждая из пересекающихся поверхностей может быть как гранной, так и поверхностью вращения.
На чертеже (рис. 21, 22) прямой конус вращения пересекается с полусферой.
Построение проекций линии взаимного пересечения поверхностей осуществляется в следующей последовательности:
Определяют на чертеже положения опорных точек кривой пересечения. Фронтальная проекция A2 самой высшей точки кривой пересечения определяется на пересечении главных меридианов пересекающихся поверхностей: для конуса главным меридианом является очерковый треугольник, а для полусферы — очерковая полуокружность во фронтальной плоскости проекций.
Проведя линию связи из точки A2 до пересечения с горизонтальной проекций главных меридианов, получаем горизонтальную проекцию A1 самой высшей точки кривой пересечения. То обстоятельство, что основания фигур располагаются непосредственно в горизонтальной плоскости проекций (рис. 22) позволяет выявить положения самых низших точек 1 и 2 кривой пересечения.
Действительно, точки 11 и 21 пересечения проекций оснований фигур являются горизонтальными проекциями самых низших точек 1 и 2 кривой персечения. Их фронтальные проекции 12 и 22 располагаются на оси ОХ и определяются пересечением оси ОХ с линиями связи, проведенными из точек 11 и 21. В тоже время по отношению к наблюдателю точки 1(11;12) и 2(21;22) являются самой близкой и самой дальней точками кривой пересечения соответственно.
Все точки, кроме A, 1 и 2 являются регулярными точками кривой пересечения. Для определения на чертеже положения их проекций используют способ вспомогательных секущих плоскостей. При этом необходимо удачно выбрать положение секущей плоскости. Это положение выбирают таким образом, чтобы в сечении каждой из заданных поверхностей вращения получались графически простые линии — прямые или окружности.
В данной задаче в качестве вспомогательных секущих плоскостей выбирают горизонтальные плоскости уровня, так как они пересекают обе поверхности: конус и полусферу, по графически простым линиям — окружностям. На чертеже проводят одну секущую плоскость α1, задав ее фронтальным следом α21. Далее строят проекции параллелей — окружностей сечения секущей плоскостью α1 конуса и полусферы. На чертеже фронтальные проекции этих параллелей l2 и m2 располагаются на следе α21 секущей плоскости α1.
Горизонтальные проекции l1 и m1 этих параллелей представляют собой окружности с центрами S1 и O1, радиусами R и R′ соответственно. В пересечении горизонтальных проекций l1 и m1 параллелей получают горизонтальные проекции 41 и 51 регулярных точек кривой пересечения. Проведя линии связи из точек 41 и 51 до пересечения со следом α21 секущей плоскости α1, получают фронтальные проекции 42 и 52 кривой пересечения. Построенные точки 4(41; 42) и 5(51; 52) являются регулярными точками кривой пересечения. Аналогичным образом проводят несколько ниже секущие плоскости α2 — α6, задав их на чертеже фронтальными следами α22 — α26, и строят регулярные точки 6(61; 62) — 15(151; 152) кривой пересечения поверхностей.
После построения на чертеже проекций опорных и регулярных точек кривой соединяют их одноименные проекции плавной кривой (при помощи лекала) и получают горизонтальную и фронтальную проекции кривой взаимного пересечения заданных поверхностей. По чертежу устанавливают, что конус и полусфера имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций. Тогда горизонтальные проекции точек кривой пересечения окажутся расположенными симметрично относительно горизонтального следа главной меридианальной плоскости, являющейся общей для обеих фигур.
Фронтальные проекции точек кривой пересечения будут совпадать, так как в этом случае они являются конкурирующими по отношению к фронтальной плоскости проекций. Причем проекции точек, расположенных перед главной меридианальной плоскостью фигур, будут видимыми на фронтальной плоскости проекций, а расположенных за ней — невидимыми. Горизонтальные проекции точек кривой пересечения являются видимыми, поэтому горизонтальная проекция кривой пересечения проводится на чертеже сплошной линией.
В заключение отметим, что способ вспомогательных секущих плоскостей уровня используется тогда, когда оси вращения обеих поверхностей (если обе поверхности являются поверхностями вращения) располагаются перпендикулярно одной из плоскостей проекций.
В том случае, когда при пересечении обеих поверхностей одной секущей плоскостью невозможно получить в сечениях графически простые линии — прямые или окружности применяется способ вспомогательных секущих сфер.
Пример 1. Построить проекции линии пересечения двух заданных поверхностей – наклонного и прямого цилиндра (Рисунок 1.8).
Так как одна поверхность (прямой цилиндр) горизонтально-проецирующая, то горизонтальная проекция линии пересечения будет совпадать с горизонтальной проекцией цилиндра. Поэтому решение сводится к построению только фронтальной проекции линии пересечения, которая имеет два участка.
Построение фронтальных проекций участков линии пересечения следует начинать с определения характерных точек: высшие А и А / , низшие В и В / (в данном случае они являются также границами видимой части линии пересечения), ближние С и С / и, дальних D и D / .
1. Построение высших А и А / , низших точек В и В / , ближних С и С / и дальних D и D / .
Для нахождения высших А и А / , низших точек В и В / проводим плоскость Δ, параллельную фронтальной плоскости проекций П2 (она задана горизонтальным следом Δ1) (Рисунок 1.9). Плоскость Δ пересекает прямой цилиндр по образующим 1 и 2, а наклонный цилиндр – по образующим 3 и 4. Пересечения фронтальных проекций 1 и 2, 3 и 4 указывают положение фронтальных проекций точек А2, А / 2, В2, В / 2 (А2 =12∩32, А / 2 =22∩32, В2 =12∩42, В / 2 =22∩42).
Для нахождения ближних точек С и С / проводим плоскость Z, параллельную фронтальной плоскости П2 (она задана горизонтальным следом Z1) (рисунок 1.10). Плоскость Z пересекает прямой цилиндр по образующим 5 и 6, а наклонный цилиндр – по образующей 7. Пересечения фронтальных проекций 5,6 и 7 указывают положение фронтальных проекций точек С2, С / 2 (С2 =52∩72, С / 2 =62∩72).
Рисунок 1.8 – Чертеж к примеру 1 выполнению задания 1.3
Рисунок 1.9 – Построение высших А и А / , низших точек В и В /
Рисунок 1.10 – Построение ближних точек С и С /
Для нахождения дальних точек D и D / (точки D и D / также являются и очерковыми) проводим плоскость K, параллельную фронтальной плоскости П2 (она задана горизонтальным следом K1) (рисунок 1.11). Плоскость K пересекает прямой цилиндр по образующим 8 и 9, а наклонный цилиндр – по образующей 10. Пересечения фронтальных проекций 8,9 и 10 указывают положение фронтальных проекций точек D2, D / 2 (D2 =82∩102, D / 2 =92∩102).
2. Построение промежуточных точек E, E / , F2, F / 2.
Для нахождения промежуточных точек E, E / , F2, F / 2 проводим плоскость Λ, также параллельная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 1.12). Эта плоскость пересекает прямой цилиндр по прямым 11 и 12, а наклонный цилиндр – по прямым 13 и14. Пересечения фронтальных проекций 11,12 и 13,14 указывают положение фронтальных проекций точек E2, E / 2, F2, F / 2 (E2 =112∩132, E / 2 =122∩132, F2 =112∩142, F / 2 =122∩142).
3. Соединим одноименные проекции этих точек плавными линиями по лекалу, предварительно установив видимые и невидимые ее части. Затем контурные линии поверхностей обводят сплошной основной линией, сохраняя линии построения в тонких линиях (рисунок 1.13).
Рисунок 1.11 – Построение дальних точек D и D /
Рисунок 1.12 – Построение промежуточных точек E, E / , F2, F / 2
Рисунок 1.13 – Результат построения проекций линии пересечения поверхностей (к примеру 1)
Пример 2. Построить линии пересечения поверхностей конуса и сферы (рисунок 1.14).
В этом случае ни одна из проекций ни одного из данных поверхностей не совпадает полностью или частично с проекциями искомой линии пересечения. Мы не можем исходить из того, что положение проекций ее точек нам известно. Поэтому здесь используется общий прием построения точек взаимного пересечения поверхностей, а именно введение вспомогательных секущих плоскостей, пересекающих каждую из заданных поверхностей по заданным линиям, и определение точек, общих для этих поверхностей, в пересечении линий, полученных на них.
1. Построение высшей А и низшей В точек. Для нахождения высшей А и низшей В точек введем общую плоскость симметрии Р: она проходит через ось конуса и через центр сферы С. Плоскость Р пересекает поверхность конуса по образующим (S1), а поверхность сферы по окружности. Повернув плоскость Р вместе с полученными в ней линиями вокруг оси конуса до положения, параллельного с плоскостью проекций П2, получим точки А / 2 и В / 2, а по ним сначала А2 и В2, затем А1 и В1 (Рисунок 1.15).
2. Построение очерковых точек D и D / . Для нахождения очерковых точек D и D / через ось конуса введем вспомогательную плоскость Т. Она пересекает конус по главному меридиану и сферу по окружности радиуса С222 (рисунок 1.16).
3. Построение точек Е,F на экваторе сферы. Для построения точек Е,F на экваторе сферы вводим горизонтальную секущую плоскость Ф. Она пересекает конус по окружности радиуса S131. Пересечения экватора (окружности радиуса С141) с окружностью радиуса S131 указывают положение горизонтальных проекций точек Е1,F1 (рисунок 1.17).
4. Построение промежуточных точек G,H,K,L,M,N. Для построения промежуточных точек вводим секущие плоскости, параллельные фронтальной плоскости проекций П2 (рисунок 1.18). Каждая такая плоскость пересекает поверхности конуса и сферы по окружностям.
Плоскость Х пересекает конус по окружности с радиусом S151, а сферу – по окружности радиуса С161. Пересечение указанных окружностей указывает положение точек G,H.
Плоскость Y пересекает конус по окружности с радиусом S171, а сферу – по окружности радиуса С181. Пересечение указанных окружностей указывает положение точек K,L.
Плоскость О пересекает конус по окружности с радиусом S191, а сферу – по окружности радиуса С1101. Пересечение указанных окружностей указывает положение точек M,N.
5. Соединим одноименные проекции этих точек плавными кривыми (рисунок 1.19).
Рисунок 1.14 –Чертеж к примеру 2 выполнения задания 1.3
Рисунок 1.15 – Построение высшей А и низшей В точек
Рисунок 1.16 – Построение очерковых точек D и D /
Рисунок 1.17 – Построение точек Е,F на экваторе сферы
Рисунок 1.18 – Построение промежуточных точек G,H,K,L,M,N
Рисунок 1.19 – Результат построения проекций линии пересечения поверхностей (к примеру 2)
Применение способа секущей сферы.Этот способ можно применять в том случае, если пересекаются две поверхности вращения и их оси пересекаются и расположены параллельно какой-либо плоскости проекций.
Пример 3. Определить линию пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями (Рисунок 1.20).
Решение. Построение линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения начинают с построения опорных (очерковых) точек. Этими точками являются точки A, B, C, D пересечения очерковых образующих заданных поверхностей. Точку пересечения фронтальных проекций осей поверхностей вращения О2 принимаем за центр концентрических сфер. Сферическая поверхность, имеющая центр в точке О2, пересекает каждую из заданных поверхностей вращения по окружности, которые изображаются на фронтальной проекции как отрезки, перпендикулярные осям соответствующих поверхностей (рисунок 1.21). Для определения интервала, в пределах которого следует брать значение величин радиусов сферических поверхностей, а также для определения характерных точек, принадлежащих линии пересечения, проводим вспомогательную сферу Ф, касательную к одной поверхности и пересекающую вторую. Радиус этой сферической поверхности укажет минимальное значение радиуса сферической поверхности. Полученные с помощью этой секущей сферы точки E,E / и F,F / являются крайними левыми (правыми) точками линии пересечения. Положение этих точек определяется пересечением окружностей 1232 и 5262, 22,42, и 5262 (E,E / =1232∩5262; F,F / =22,42∩5262), по которым секущая сфера Ф с минимальным радиусом пересекает заданные поверхности вращения. Зная положение фронтальных проекций точек E,E / и F,F / , находим их горизонтальные проекции. Расстояние от точки О2 до наиболее удаленной точки В2 – пересечения очерковых образующих линий заданных поверхностей – укажет величину максимального радиуса секущей сферы Ф // Rmax. Для определения промежуточных точек линии пересечения заданных поверхностей вращения проводим сферы радиусами Rmin < R < Rmax.
На рисунке 1.22 показано построение точек G2,G / 2 и H2,H / 2, с помощью сферы Ф / . Отрезки 7292, 82102 являются проекциями окружностей, по которым сфера Ф / пересекается с поверхностью конуса. Отрезок 112,122 представляет фронтальную проекцию окружности, по которой сфера Ф / пересекается с поверхностью усеченного конуса. Пресечения отрезков 7292, 82102 укажут положение точек G2,G / 2 иH2,H / 2 (H2,H / 2=7292∩112,122, G2,G / 2=82102∩112,122). Зная положение фронтальных проекций точек G2,G / 2 и H2,H / 2, находим их горизонтальные проекции.
Соединив одноименные проекции точек плавными кривыми, получим проекции линии пересечения двух поверхностей вращения (Рисунок 1.22).
Рисунок 1.20 – Чертеж к примеру 3 выполнения задания 1.3
Рисунок 1.21 – Результат построения очерковых A, B, C, D и промежуточных точек E,E / и F,F /
Рисунок 1.22 – Результат построения построение точек G2,G / 2 и H2,H / 2 и проекций линии пересечения двух поверхностей вращения способом секущих сфер
В этом уроке рассмотрим одну из самых распространенных задач начертательной геометрии – построение пересечения поверхностей методом секущих плоскостей и способ ее решения средствами AutoСАD.
Метод секущих плоскостей, немного теории
Вкратце суть метода секущих плоскостей состоит в том, что для построения линии пересечения двух поверхностей строятся вспомогательные плоскости (обычно – параллельные одной из плоскостей проекций), которые пересекают заданные поверхности, образуя при этом простые геометрические фигуры.
Точки взаимного пересечения заданных поверхностей будут общими точками двух кривых, образованных пересечением секущей плоскости с каждой из поверхностей.
Условия задачи
Зададим условия: пусть необходимо построить пересечение полусферы и конуса, расположенных таким образом:
Размеры показаны для наглядности, проставлять их на чертеже не нужно.
Решение
Строим секущие плоскости, вид с боку
Очевидно, что для тел вращения удобно использовать плоскости, перпендикулярные осям этих тел. В нашем случае вспомогательные плоскости будут параллельными горизонтальной плоскости. Изобразим их на фронтальном виде (в нашем случае верхняя из плоскостей проходит через явно видимую верхнюю точку пересечения конуса и полусферы, в других случаях для нахождения этой точки потребуются дополнительные построения):
Секущие плоскости, вид сверху
Теперь перенесем линии пересечения секущих плоскостей с каждой из поверхностей на вид сверху. Очевидно, что горизонтальные плоскости пересекают каждое из тел по окружностям, центры которых находятся на одной вертикали с центрами тел. Радиусы этих окружностей легко переносятся на вид сверху с образующих каждой поверхности. Вот эти окружности для полусферы:
Точки пересечения секущих плоскостей
Отметим для наглядности общие точки для каждой из пар окружностей, образованных одной плоскостью:
Видно, что в районе верхней точки построение недостаточно «информативно», т.е. будет полезным построить еще одну секущую плоскость:
Вот еще две точки, заданные этой плоскостью:
Линия пересечения
Соединив на виде сверху полученные точки сплайном (команда Сплайн), мы получим приближенную линию пересечения двух поверхностей:
Остается перенести линию на фронтальный вид. Сделать это совсем несложно: нужно перенести каждую из точек с вида сверху на соответствующую секущую плоскость на фронтальном виде. Линии построения выделены желтым цветом:
Поскольку исходные поверхности (и, соответственно, линия их пересечения) симметричны относительно плоскости, параллельной фронтальной плоскости проекции, достаточно перенести только половину точек. В нашем частном случае невидимая на фронтальном виде часть кривой «спрятана» за видимой, а верхняя точка является точкой разделения видимой и невидимой частей.
Проверка вида линии пересечения
Полезно проверить правильность наших построений средствами 3D-моделирования. Построим соответствующие фигуры, перейдя предварительно к интерфейсу 3D- моделирование , и сравним полученную модель с построением (для этого удобнее объединить объекты командой Объединить).
Резюме
Как видим, наше построение довольно точно передает реальную линию пересечения поверхностей вращения. И хотя современные средства моделирования позволяют строить такие пересечения гораздо быстрее, рассмотренные нами принципы очень полезны для понимания «механики» геометрических построений, без которого любой, даже самый современный инструмент 3D-моделирования превращается в сложную и непонятную игрушку.
Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения сферы с конусом вращения (рис. 10.2).
Для построения линии пересечения заданных поверхностей удобно в качестве вспомогательных поверхностей использовать серию горизонтальных плоскостей, перпендикулярных оси конуса, которые пересекают сферу и конус по окружностям. На пересечении этих окружностей находят точки искомой линии пересечения.
Построение начинают обычно с отыскания проекций характерных точек. Проекции 1 'высшей и 2' низшей точек являются точками пересечения фронтальных проекций очерков, так
как центр сферы и ось конуса лежат в плоскости, параллельной плоскости V. Их горизонтальные 1, 2 и профильные 1'\ 2" проекции находят в проекционной связи. Проекции 3', 3, 3" и 4\ 4, 4",лежащие на экваторе сферы, находят с помощью горизонтальной плоскости Q (Qv), проходящей через центр сферы О (о'). Она пересекает сферу по экватору и конус по окружности радиуса rq, в пересечении горизонтальных проекций которых и находят горизонтальные проекции 3, 4 точек искомой линии пересечения. Горизонтальные проекции 3 и 4 этих точек являются границами видимости участков линии пересечения на этой проекции. Проекции промежуточных точек, например 5' 5, 5" и 6\ 6, 6", находят с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости Т(Tv).Их построение ясно из чертежа. Аналогично построены другие точки. Профильные проекции точек линии пересечения строят по их фронтальной и горизонтальной проекциям. Точки с проекциями 7' 7, 7" и 8\ 8, 8" являются границами видимости участков профильной проекции линии пересечения. Ниже проекций 7" и 8" профильная проекция линии пересечения видима.
построение линии пересечения поверхностей вращения способом концентрических сфер
Этот способ применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются. Для упрощения графического решения необходимо, чтобы плоскость, определяемая осями поверхностей вращения» была параллельной какой-либо плоскости
проекций. В противном случае эта плоскость должна быть предварительно переведена в удобное для решения задачи положение одним из способов преобразования чертежа.
В основу способа концентрических сфер положены теорема о пересечении двух соосных поверхностей вращения и следствие из неё.
Пример 8. Построить линию пересечения L произвольной поверхности вращения ос(1>т) и конической поверхности вращения fi(S;K), имеющих общую плоскость симметрии сд (со ') .
Решение . Прежде всего построим экстремальные точки линии переселения А (А") к В (В") -точки пересечения главных меридианов обеих пересекающихся поверхностей /рис. б. 13/. За центр вспомогательных сфер ft примем точку 0(0")*L'(Cj". Для определения пределов изменения радиусов вспомогательных сфер выбираем отрезок 0"В'[ равный расстоянию от центра О (Ои)&о наиболее удаленной экстремальной точки В (&") » который будет ра диуеом максимальной сферы. Радиус минимальной сферы равен радиусу большей из двух сфер, вписанных в данные по верхности, то есть отрезку О"N" . Проведя достаточное количество сфер поверхностей вращенияполучим множество точек, определяющих с достаточной, степенью точности линию пересечения поверхностей L
На рис» 6.13 показаны все построения для одной сферы-посредника . Эта сфера соосна с поверхностями конуса..
16. Построение точки пересечения прямой общего положения с проецирующей плоскостью
Рис. 7.4.
В качестве примера построим точку встречи фронтально проецирующей плоскости с прямой общего положения n (рис.7.4). Пусть n = = М. М2 - фронтальная проекция искомой точки Мдолжна лежать на фронтальной проекции П2 прямой n, как точка, принадлежащая прямой n. В то же время фронтальная проекция М2 точки М должна лежать на следе 2 плоскости , так как искомая точка принадлежит и плоскости . Следовательно, искомая фронтальная проекция М2 точки М может лежать только на пересечении n2 и 2. Имея фронтальную проекцию М2 точкиМ, при помощи линии связи легко найти ее горизонтальную проекцию.
7.2.2.Построение точки пересечения плоскости общего положения с проецирующей прямой
Рис. 7.5.
На рис.7.5 показано построение точки встречи горизонтально проецирующей прямой n с плоскостью общего положения (a b). Горизонтальные проекции всех точек, принадлежащих данной прямой, в том числе и горизонтальная проекция М1 искомой точки М, будут совпадать с n1 - горизонтальной проекцией прямой n. Следовательно, задача сводится к нахождению недостающей фронтальной проекции М1 точки М, лежащей в плоскости . Через М1 проведем прямую 1121. По линиям связи найдем фронтальные проекции 12, 22 точек 1 и 2, через которые проведем фронтальную проекцию прямой 12. На пересечении 1222 с n2 и будет находиться фронтальная проекция М2 точки М.
Читайте также: