Для каких целей конструктор использует метод конечных элементов мкэ

Обновлено: 01.05.2024

Лекция 1 предназначена для студентов-магистров направления Механика и математическое моделирование, 1 курс, механико-математический факультет. Автор к. ф.-м. н. Иванов Д.В. На сегодняшний день конечно-элементные (КЭ) методы являются неотъемлемой частью инженерного анализа и разработок.

В лекции рассатриваются уравнения задач теории поля и их решение методом конечных элементов. Составляет функционал, который затем минимизируется.

В лекции рассматриваются вопросы, касающиеся дифференцирования различных матричных сотношений, возникающих при решении краевых задач методом конечных элементов. Далее эти правила используются при дифференцировании функционала.

В лекции рассматривается стержень квадратного поперечного сечения и решается задача о его кручении. Получают систему линейных алгебраических уравнений, которая затем решается.

В лекции рассматривается получение сдвиговых напряжений через найденные узловые значения.

В лекции рассмотрены L-координаты и их применение для выичсления интегралов по ребру, площади и объему конечного элемента.

В лекции представлен материал, описывающий реализацию метода конечных элементов на компьютере. Рассматривается сокращенная матрица система для элемента, а также преобразования, позволяющие поставить в соответствие сокращенную матрицу и полную матрицу элемента.

В лекции рассматривается метод Гаусса решения системы линейных уравнений, а также приводится блок-схема вычислений, в соответствии с которой производится решение краевых задач методом конечных элементов.

Лекция 2 предназначена для студентов-магистров направления Механика и математическое моделирование, 1 курс, механико-математический факультет. Автор к. ф.-м. н. Иванов Д.В.

Лекция 3 предназначена для студентов-магистров направления Механика и математическое моделирование, 1 курс, механико-математический факультет. Автор к. ф.-м. н. Иванов Д.В. В лекции рассматриваются способы нумерации узлов, зависимость времени расчетов от нумерации.

Лекция 4 предназначена для студентов-магистров направления Механика и математическое моделирование, 1 курс, механико-математический факультет. Автор к. ф.-м. н. Иванов Д.В. В лекции рассматриваются вопросы, относящиеся к трехмерному сиплекс-элементу, дается пример для самостоятельной работы.

Лекция 5 предназначена для студентов-магистров направления Механика и математическое моделирование, 1 курс, механико-математический факультет.
Автор к. ф.-м. н. Иванов Д.В.

Ранее мы решали задачу об аппроксимации непрерывной функции на отдельном конечном элементе.

В данной лекции продолжается рассмотрение примера о переносе тепла в стержне.

В данной лекции повторно рассматривается пример о переносе тепла в стержне. Предлагается сначала найти производные от функционала по неизвестным узловым значениям температуры, а потом посчитать интегралы.

В данной лекции рассматривается задача о деформировании консольного стержня под действием растягивающей силы. Задача решается методом конечных элементов: минимизируется потенциальная энергия стержня и записывается уравнение для нахождения неизвестного перемещения.

Визуализация того, как автомобиль деформируется при асимметричной аварии, с помощью анализа методом конечных элементов

FEM - это общий численный метод решения уравнений в частных производных с двумя или тремя пространственными переменными (т. Е. Некоторых краевых задач ). Чтобы решить проблему, FEM подразделяет большую систему на более мелкие и простые части, которые называются конечными элементами . Это достигается определенной пространственной дискретизацией по пространственным измерениям, которая реализуется путем построения сетки объекта: числовой области для решения, имеющей конечное число точек. Постановка краевой задачи методом конечных элементов в конечном итоге приводит к системе алгебраических уравнений . Метод аппроксимирует неизвестную функцию по области. [1] Простые уравнения, моделирующие эти конечные элементы, затем собираются в более крупную систему уравнений, которая моделирует всю проблему. Затем FEM использует вариационные методы из вариационного исчисления для аппроксимации решения путем минимизации связанной функции ошибок.

Изучение или анализ явления с помощью FEM часто называют анализом конечных элементов ( FEA ).

Сетка МКЭ, созданная аналитиком перед поиском решения магнитной проблемы с помощью программного обеспечения МКЭ. Цвета указывают на то, что аналитик установил свойства материала для каждой зоны, в данном случае катушка проводящего провода оранжевого цвета; ферромагнитный компонент (возможно , железа ) в светло - голубой; и воздух серым. Хотя геометрия может показаться простой, было бы очень сложно рассчитать магнитное поле для этой установки без программного обеспечения FEM, используя только уравнения .

Решение задачи слева с помощью МКЭ, включающее магнитный экран цилиндрической формы . Ферромагнитная цилиндрическая часть защитная области внутри цилиндра путем подачи магнитного поля , созданное с помощью катушки (прямоугольной области справа). Цвет представляет амплитуду от плотности магнитного потока , как показано в масштабе легенде вставки, красный является высокой амплитудой. Область внутри цилиндра имеет низкую амплитуду (темно-синий, с широко разнесенными линиями магнитного потока), что говорит о том, что экран работает так, как он был разработан.

Разделение всего домена на более простые части дает несколько преимуществ: [2]

Точное отображение сложной геометрии
Включение разнородных свойств материала
Легкое представление общего решения
Захват локальных эффектов.

Типичная работа над методом включает:

разделение области задачи на набор подобластей, каждая подобласть представлена набором элементных уравнений исходной задачи
систематическая рекомбинация всех наборов элементарных уравнений в глобальную систему уравнений для окончательного расчета.

Глобальная система уравнений имеет известные методы решения и может быть вычислена по начальным значениям исходной задачи, чтобы получить числовой ответ.

На первом шаге, описанном выше, элементные уравнения представляют собой простые уравнения, которые локально аппроксимируют исходные комплексные уравнения, подлежащие изучению, где исходные уравнения часто являются уравнениями в частных производных (УЧП). Чтобы объяснить приближение в этом процессе, метод конечных элементов обычно вводится как частный случай метода Галеркина . На математическом языке процесс состоит в построении интеграла от внутреннего произведения невязки и весовых функций и обнулении интеграла. Проще говоря, это процедура, которая сводит к минимуму ошибку аппроксимации путем подгонки пробных функций в УЧП. Остаток - это ошибка, вызванная пробными функциями, а весовые функции - это полиномиальные аппроксимирующие функции, которые проецируют остаток. Процесс исключает все пространственные производные из PDE, таким образом аппроксимируя PDE локально с помощью

набор алгебраических уравнений для стационарных задач,
набор обыкновенных дифференциальных уравнений для нестационарных задач.

Эти наборы уравнений являются уравнениями элементов. Они линейны, если лежащие в основе PDE линейны, и наоборот. Наборы алгебраических уравнений, возникающие в стационарных задачах, решаются с использованием методов численной линейной алгебры , в то время как наборы обыкновенных дифференциальных уравнений , возникающие в нестационарных задачах, решаются путем численного интегрирования с использованием стандартных методов, таких как метод Эйлера или метод Рунге-Кутта .

На шаге (2) выше глобальная система уравнений генерируется из уравнений элементов посредством преобразования координат из локальных узлов подобластей в глобальные узлы домена. Это пространственное преобразование включает в себя соответствующие настройки ориентации, применяемые по отношению к опорной системе координат . Процесс часто выполняется программным обеспечением FEM с использованием координатных данных, сгенерированных из подобластей.

FEM лучше всего понять из его практического применения, известного как анализ методом конечных элементов (FEA) . FEA, применяемый в инженерии, представляет собой вычислительный инструмент для выполнения инженерного анализа . Он включает в себя использование методов создания сетки для разделения сложной проблемы на мелкие элементы, а также использование программного обеспечения, закодированного с помощью алгоритма FEM. При применении FEA, комплекс проблемы, как правило , физическая система с подстилающей физикой , такими как уравнение Эйлера-Бернулли пучка пучка , в уравнении теплопроводности , или уравнения Навьего-Стокс , выраженных в любом PDE или интегральных уравнениях , в то время как разделить маленькие элементы сложные проблемы представляют собой различные области физической системы.

FEA - хороший выбор для анализа проблем в сложных областях (таких как автомобили и нефтепроводы), когда область изменяется (как во время твердотельной реакции с движущейся границей), когда желаемая точность изменяется по всей области или когда раствору не хватает гладкости. Моделирование методом FEA является ценным ресурсом, поскольку устраняет многочисленные экземпляры создания и тестирования твердых прототипов для различных ситуаций с высокой точностью. [ необходимая цитата ] Например, при моделировании лобового столкновения можно повысить точность прогнозирования в «важных» областях, таких как передняя часть автомобиля, и уменьшить ее в ее задней части (таким образом, снижая стоимость моделирования). Другой пример - это численное прогнозирование погоды , где более важно иметь точные прогнозы развития сильно нелинейных явлений (таких как тропические циклоны в атмосфере или водовороты в океане), а не относительно спокойных районов.

Хотя трудно назвать дату изобретения метода конечных элементов, этот метод возник из-за необходимости решать сложные задачи анализа упругости и конструкции в гражданской и авиационной технике . Его развитие восходит к работам А. Хренникова [3] и Р. Куранта [4] в начале 1940-х годов. Еще одним пионером был Иоаннис Аргирис . В СССР внедрение метода в практику обычно связывают с именем Леонарда Оганесяна . [5] В Китае в конце 1950-х - начале 1960-х годов, основываясь на расчетах конструкций плотин, К. Фэн предложил систематический численный метод решения уравнений в частных производных . Метод был назван методом конечных разностей, основанным на вариационном принципе , который явился еще одним независимым изобретением метода конечных элементов. Хотя подходы, используемые этими первопроходцами, различны, у них есть одна важная характеристика: сеточная дискретизация непрерывной области на набор дискретных подобластей, обычно называемых элементами.

Работа Hrennikoff в discretizes домена с помощью решетки аналогии, в то время как подход делит Куранта домена , указанные в конечные треугольных подобласти для решения второго порядка эллиптической [ устранение неоднозначности , необходимые ] дифференциальные уравнения (СИЕ) , которые возникают из - за проблемы кручения о наличии цилиндра . Вклад Куранта был эволюционным, поскольку он опирался на большое количество более ранних результатов для PDE, разработанных Рэлеем , Ритцем и Галеркиным .

Метод конечных элементов получил свой настоящий импульс в 1960-х и 1970-х годах благодаря разработкам Дж. Х. Аргириса с коллегами из Штутгартского университета , Р. В. Клафа с коллегами из Калифорнийского университета в Беркли , О. К. Зенкевича с коллегами Эрнеста Хинтона , Брюса Айронса. [6] и другие из Университета Суонси , Филипп Дж. Чиарле из Парижского университета 6 и Ричард Галлахер с коллегами из Корнельского университета . Дальнейший импульс в эти годы был придан имеющимся программам конечных элементов с открытым исходным кодом. НАСА спонсировало оригинальную версию NASTRAN , а Калифорнийский университет в Беркли сделал программу конечных элементов SAP IV [7] широко доступной. В Норвегии классификационное общество судов Det Norske Veritas (ныне DNV GL ) разработало Sesam в 1969 году для использования в анализе судов. [8] Строгая математическая основа метода конечных элементов была предоставлена в 1973 году в публикации Strang and Fix . [9] С тех пор этот метод был обобщен для численного моделирования физических систем в самых разных инженерных дисциплинах, например, в электромагнетизме , теплопередаче и гидродинамике . [10] [11]

Структура методов конечных элементов

Метод конечных элементов характеризуется вариационной формулировкой , стратегией дискретизации, одним или несколькими алгоритмами решения и процедурами последующей обработки.

Примерами вариационной постановки являются метод Галеркина , разрывный метод Галеркина, смешанные методы и т. Д.

Под стратегией дискретизации понимается четко определенный набор процедур, которые охватывают (а) создание сеток из конечных элементов, (б) определение базовой функции на опорных элементах (также называемых функциями формы) и (в) отображение опорных элементов. элементы на элементы сетки. Примерами стратегий дискретизации являются h-версия, p-версия , hp-версия , x-FEM , изогеометрический анализ и т. Д. Каждая стратегия дискретизации имеет определенные преимущества и недостатки. Разумным критерием при выборе стратегии дискретизации является достижение почти оптимальной производительности для самого широкого набора математических моделей в конкретном классе моделей.

Различные алгоритмы численного решения можно разделить на две большие категории; прямые и итерационные решатели. Эти алгоритмы предназначены для использования разреженности матриц, которая зависит от выбора вариационной формулировки и стратегии дискретизации.

Процедуры постобработки предназначены для извлечения интересующих данных из решения методом конечных элементов. Чтобы соответствовать требованиям проверки решения, постпроцессоры должны обеспечивать апостериорную оценку ошибки с точки зрения представляющих интерес величин. Когда ошибки аппроксимации больше, чем считается приемлемым, дискретизация должна быть изменена либо автоматизированным адаптивным процессом, либо действиями аналитика. Есть несколько очень эффективных постпроцессоров, которые обеспечивают реализацию сверхсходимости .

Иллюстративные задачи P1 и P2

Мы продемонстрируем метод конечных элементов на двух примерах задач, из которых можно экстраполировать общий метод. Предполагается, что читатель знаком с исчислением и линейной алгеброй .

P1 - одномерная задача

P2 - двумерная задача ( задача Дирихле )

Проблема P1 может быть решена непосредственно путем вычисления первообразных . Однако этот метод решения краевой задачи (BVP) работает только тогда, когда существует одно пространственное измерение, и не распространяется на проблемы более высокой размерности или проблемы, такие как ты + ты ″ знак равно ж . По этой причине мы разработаем метод конечных элементов для P1 и опишем его обобщение для P2.

Наше объяснение состоит из двух шагов, которые отражают два важных шага, которые необходимо предпринять для решения краевой задачи (BVP) с использованием FEM.

На первом этапе мы перефразируем исходный BVP в его слабой форме. Для этого шага обычно не требуется никаких вычислений. Преобразование выполняется вручную на бумаге.
Второй шаг - это дискретизация, когда слабая форма дискретизируется в конечномерном пространстве.

После этого второго шага у нас есть конкретные формулы для большой, но конечномерной линейной задачи, решение которой приближенно решает исходную BVP. Затем эта конечномерная задача реализуется на компьютере .

Слабая формулировка

Первый шаг - преобразовать P1 и P2 в их эквивалентные слабые составы .

Слабая форма P1

(1) ∫ 0 1 ж ( Икс ) v ( Икс ) d Икс знак равно ∫ 0 1 ты ″ ( Икс ) v ( Икс ) d Икс . ^ f (x) v (x) \, dx = \ int _ ^ u '' (x) v (x) \, dx.>

Определяем новый оператор или карту ϕ ( ты , v ) с помощью интегрирования по частям в правой части (1):

(2) ∫ 0 1 ж ( Икс ) v ( Икс ) d Икс знак равно ∫ 0 1 ты ″ ( Икс ) v ( Икс ) d Икс знак равно ты ′ ( Икс ) v ( Икс ) | 0 1 - ∫ 0 1 ты ′ ( Икс ) v ′ ( Икс ) d Икс знак равно - ∫ 0 1 ты ′ ( Икс ) v ′ ( Икс ) d Икс ≡ - ϕ ( ты , v ) , \ int _ ^ f (x) v (x) \, dx & = \ int _ ^ u '' (x) v (x ) \, dx \\ & = u '(x) v (x) | _ ^ - \ int _ ^ u' (x) v '(x) \, dx \\ & = - \ int _ ^ u '(x) v' (x) \, dx \ Equiv - \ phi (u, v), \ end >>

где мы использовали предположение, что v ( 0 ) знак равно v ( 1 ) знак равно 0 .

Метод конечных элементов ( МКЭ ) - широко используемый метод численного решения дифференциальных уравнений, возникающих в инженерно- математическом моделировании . Типичные проблемные области, представляющие интерес, включают традиционные области структурного анализа , теплопередачи , потока жидкости , массопереноса и электромагнитного потенциала . FEM - это особый численный метод решения уравнений в частных производных с двумя или тремя пространственными переменными (т. Е. Некоторых краевых задач ). Чтобы решить проблему, FEM подразделяет большую систему на более мелкие и простые части, которые называются конечными элементами . Это достигается определенной пространственной дискретизацией по пространственным измерениям, которая реализуется путем построения сетки объекта: числовой области для решения, имеющей конечное число точек. Постановка краевой задачи методом конечных элементов в конечном итоге приводит к системе алгебраических уравнений . Метод аппроксимирует неизвестную функцию по области. [1] Простые уравнения, моделирующие эти конечные элементы, затем собираются в более крупную систему уравнений, которая моделирует всю проблему. Затем в МКЭ используются вариационные методы. из вариационного исчисления для аппроксимации решения путем минимизации связанной функции ошибок.

Изучение или анализ явления с помощью FEM часто называют анализом конечных элементов ( FEA ).

СОДЕРЖАНИЕ

Разделение всего домена на более простые части дает несколько преимуществ: [2]

Точное отображение сложной геометрии
Включение разнородных свойств материала
Легкое представление общего решения
Захват локальных эффектов.

Типичная работа метода включает (1) разделение области проблемы на набор подобластей, каждая подобласть представлена набором элементных уравнений исходной задачи, с последующим (2) систематическим повторным объединением всех наборов элементных уравнений в глобальная система уравнений для окончательного расчета. Глобальная система уравнений имеет известные методы решения и может быть вычислена по начальным значениям исходной задачи, чтобы получить числовой ответ.

На первом шаге, описанном выше, элементные уравнения представляют собой простые уравнения, которые локально аппроксимируют исходные комплексные уравнения, подлежащие изучению, где исходные уравнения часто являются уравнениями в частных производных (УЧП). Чтобы объяснить приближение в этом процессе, метод конечных элементов обычно вводится как частный случай метода Галеркина . На математическом языке этот процесс состоит в построении интеграла от внутреннего произведения невязки и весовых функций и обнулении интеграла. Проще говоря, это процедура, которая сводит к минимуму ошибку аппроксимации путем подбора пробных функций в УЧП. Невязка - это ошибка, вызванная пробными функциями, а весовые функции являются полиномиальными. аппроксимационные функции, которые проецируют невязку. Процесс исключает все пространственные производные из PDE, таким образом аппроксимируя PDE локально с помощью

набор алгебраических уравнений для стационарных задач,
набор обыкновенных дифференциальных уравнений для нестационарных задач.

На шаге (2) выше глобальная система уравнений генерируется из уравнений элементов посредством преобразования координат из локальных узлов подобластей в глобальные узлы домена. Это пространственное преобразование включает в себя соответствующие корректировки ориентации , которые применяются в отношении к опорной системе координат . Процесс часто выполняется программным обеспечением FEM с использованием координатных данных, сгенерированных из подобластей.

FEM лучше всего понять из его практического применения, известного как анализ методом конечных элементов (FEA) . FEA, применяемый в инженерии, представляет собой вычислительный инструмент для выполнения инженерного анализа . Он включает в себя использование методов создания сетки для разделения сложной проблемы на мелкие элементы, а также использование программного обеспечения, закодированного с помощью алгоритма FEM. При применении FEA, комплекс проблемы, как правило , физическая система с подстилающей физикой , такими как уравнение Эйлера-Бернулли пучка , в уравнении теплопроводности , или уравнения Навьего-Стокс , выраженных в любом PDE или интегральные уравнения , в то время как отдельные мелкие элементы сложной задачи представляют различные области физической системы.

FEA - хороший выбор для анализа проблем в сложных областях (таких как автомобили и нефтепроводы), когда область изменяется (как во время твердотельной реакции с движущейся границей), когда желаемая точность изменяется во всей области или когда раствору не хватает гладкости. Моделирование методом FEA является ценным ресурсом, поскольку устраняет многочисленные экземпляры создания и тестирования твердых прототипов для различных ситуаций с высокой точностью. [ необходимая цитата ] Например, при моделировании лобового столкновения можно повысить точность прогнозирования в «важных» областях, таких как передняя часть автомобиля, и уменьшить ее в ее задней части (таким образом, снижая стоимость моделирования). Другой пример - численный прогноз погоды. , где более важно иметь точные прогнозы развития сильно нелинейных явлений (таких как тропические циклоны в атмосфере или водовороты в океане), а не относительно спокойных районов.

Хотя трудно указать дату изобретения метода конечных элементов, этот метод возник из-за необходимости решать сложные задачи анализа упругости и конструкции в гражданской и авиационной технике . Его развитие восходит к работам А. Хренникова [3] и Р. Куранта [4] в начале 1940-х годов. Еще одним пионером был Иоаннис Аргирис . В СССР внедрение метода в практику обычно связывают с именем Леонарда Оганесяна . [5] В Китае в конце 1950-х - начале 1960-х годов на основе расчетов конструкций плотин, К. Фэн предложил систематический численный метод решения уравнений в частных производных . Метод был назван методом конечных разностей, основанным на вариационном принципе , который был еще одним независимым изобретением метода конечных элементов. Хотя подходы, используемые этими первопроходцами, различны, у них есть одна важная характеристика: сеточная дискретизация непрерывной области на набор дискретных подобластей, обычно называемых элементами.

Работа Hrennikoff в discretizes домена с помощью решетки аналогии, в то время как подход делит Куранта домена , указанные в конечные треугольных подобласти для решения второго порядка эллиптических дифференциальных уравнений (СИЕ) , которые возникают из - за проблемы кручения о наличии цилиндра . Вклад Куранта носил эволюционный характер, он опирался на большое количество более ранних результатов для PDE, разработанных Рэлеем , Ритцем и Галеркиным .

Метод конечных элементов получил свой настоящий импульс в 1960-х и 1970-х годах благодаря разработкам Дж. Х. Аргириса с коллегами из Штутгартского университета , Р. В. Клафа с коллегами из Калифорнийского университета в Беркли , О. К. Зенкевича с коллегами Эрнеста Хинтона , Брюса Айронса. [6] и другие из Университета Суонси , Филипп Дж. Сиарле из Парижского университета 6 и Ричард Галлахер с коллегами из Корнельского университета. . Дальнейший импульс в эти годы был придан имеющимся программным обеспечением конечных элементов с открытым исходным кодом. НАСА спонсировало оригинальную версию NASTRAN , а Калифорнийский университет в Беркли сделал программу конечных элементов SAP IV [7] широко доступной. В Норвегии классификационное общество судов Det Norske Veritas (ныне DNV GL ) разработало Sesam в 1969 году для использования в анализе судов. [8] Строгая математическая основа метода конечных элементов была предоставлена в 1973 году в публикации Strang and Fix . [9] С тех пор этот метод был обобщен для численного моделирования физических систем в самых разных областях техники. дисциплины, например, электромагнетизм , теплопередача и гидродинамика . [10] [11]

P1 - одномерная задача

P2 - двумерная задача ( задача Дирихле )

Проблема P1 может быть решена непосредственно путем вычисления первообразных . Однако этот метод решения краевой задачи (BVP) работает только тогда, когда существует одно пространственное измерение, и не распространяется на проблемы более высокой размерности или подобные проблемы . По этой причине мы разработаем метод конечных элементов для P1 и опишем его обобщение для P2. u + u ″ = f

Наше объяснение состоит из двух шагов, которые отражают два важных шага, которые необходимо предпринять для решения краевой задачи (BVP) с помощью FEM.

На первом этапе мы перефразируем исходный BVP в его слабой форме. Для этого шага обычно не требуется никаких вычислений. Преобразование выполняется вручную на бумаге.
Второй шаг - это дискретизация, когда слабая форма дискретизируется в конечномерном пространстве.

Первый шаг - преобразовать P1 и P2 в их эквивалентные слабые составы .

Если решает P1, то для любой гладкой функции , удовлетворяющей граничным условиям смещения, т. Е. При и , мы имеем u v v = 0 x = 0 x = 1

Наоборот, если with удовлетворяет (1) для каждой гладкой функции, то можно показать, что это решит P1. Доказательство проще для дважды непрерывно дифференцируемых ( теорема о среднем значении ), но также может быть доказано в распределительном смысле. u u ( 0 ) = u ( 1 ) = 0 v ( x ) u u

Мы определяем новый оператор или карту , используя интегрирование по частям в правой части (1): ϕ ( u , v )

где мы использовали предположение, что . v ( 0 ) = v ( 1 ) = 0

Если мы проинтегрируем по частям, используя форму тождеств Грина , мы увидим, что если решает P2, то мы можем определить для любого следующим образом: u ϕ ( u , v ) v

где обозначает градиент и обозначает скалярное произведение в двумерной плоскости. Еще раз может быть превращен во внутренний продукт на подходящем пространстве из когда-то дифференцируемых функций, которые равны нулю . Мы также предположили, что (см. Пространства Соболева ). Также можно показать существование и уникальность решения. ∇ ⋅ ϕ H 0 1 ( Ω ) ^(\Omega )> Ω ∂ Ω v ∈ H 0 1 ( Ω ) ^(\Omega )>

Функция с нулевыми значениями на концах (синий) и кусочно-линейной аппроксимацией (красный) H 0 1 , ^,>

P1 и P2 готовы к дискретизации, что приводит к общей подзадаче (3). Основная идея - заменить бесконечномерную линейную задачу:

с конечномерной версией:

где есть конечномерное подпространство в . Есть много возможных вариантов (одна возможность приводит к спектральному методу ). Однако в качестве метода конечных элементов мы берем пространство кусочно-полиномиальных функций. V H 0 1 ^> V V

где мы определяем и . Обратите внимание, что функции в не дифференцируемы согласно элементарному определению исчисления. Действительно, если то производная , как правило , не определен в любом , . Однако производная существует при любом другом значении, и эту производную можно использовать для интегрирования по частям . x 0 = 0 =0> x n + 1 = 1 =1> V v ∈ V x = x k > k = 1 , … , n x

Нам нужен набор функций . На рисунке справа мы проиллюстрировали триангуляцию 15-сторонней многоугольной области на плоскости (внизу) и кусочно-линейную функцию (вверху, по цвету) этого многоугольника, которая является линейной на каждом треугольнике триангуляции; пространство будет состоять из функций, линейных на каждом треугольнике выбранной триангуляции. V Ω Ω V

Можно надеяться, что по мере того, как нижележащая треугольная сетка становится все более тонкой, решение дискретной задачи (3) в некотором смысле сходится к решению исходной краевой задачи P2. Чтобы измерить эту мелкость сетки, триангуляция индексируется параметром с действительным знаком, который считается очень маленьким. Этот параметр будет связан с размером самого большого или среднего треугольника в триангуляции. При уточнении триангуляции пространство кусочно-линейных функций также должно измениться с . По этой причине часто вместо литературы читают . Поскольку мы не проводим такой анализ, мы не будем использовать эти обозначения. h > 0 0> V h V h > V

16 масштабированных и сдвинутых треугольных базисных функций (цветов), используемых для восстановления функции Бесселя нулевого порядка J ₀ (черный).

Линейная комбинация базисных функций (желтый) воспроизводит J ₀ (синий) с любой желаемой точностью.

Для завершения дискретизации, мы должны выбрать базис из . В одномерном случае для каждой контрольной точки выберем кусочно-линейную функцию, в которой значение равно at и равно нулю в каждой , т. Е. V x k > v k > V 1 x k > x j , j ≠ k ,\;j\neq k>

для ; эта основа - сдвинутая и масштабированная функция палатки . Для двумерного случая мы снова выбираем одну базисную функцию на вершину триангуляции плоской области . Функция является единственной функцией , значение которого на и ноль при каждом . k = 1 , … , n v k > x k > Ω v k > V 1 x k > x j , j ≠ k ,\;j\neq k>

В зависимости от автора слово «элемент» в «методе конечных элементов» относится либо к треугольникам в области, либо к кусочно-линейной базисной функции, либо к обоим. Так, например, автор, интересующийся изогнутыми доменами, может заменить треугольники изогнутыми примитивами и таким образом описать элементы как криволинейные. С другой стороны, некоторые авторы заменяют «кусочно линейный» на «кусочно-квадратичный» или даже «кусочно-полиномиальный». Тогда автор мог бы сказать «элемент более высокого порядка» вместо «многочлен более высокой степени». Метод конечных элементов не ограничивается треугольниками (или тетраэдрами в трехмерном пространстве, или симплексами более высокого порядка в многомерных пространствах), но может быть определен в четырехугольных подобластях (шестигранники, призмы или пирамиды в трехмерном пространстве и т. Д.) .Формы более высокого порядка (криволинейные элементы) могут быть определены с помощью полиномиальных и даже неполиномиальных форм (например, эллипса или круга).

Примерами методов, использующих кусочно-полиномиальные базисные функции более высокой степени, являются hp-FEM и спектральный FEM .

Более продвинутые реализации (адаптивные методы конечных элементов) используют метод оценки качества результатов (на основе теории оценки ошибок) и модифицируют сетку во время решения с целью достижения приближенного решения в некоторых пределах от точного решения задачи континуума. . Адаптивная сетка может использовать различные методы, наиболее популярными из которых являются:

движущиеся узлы (r-адаптивность)
уточняющие (и необработанные) элементы (h-адаптивность)
изменение порядка базовых функций (p-адаптивность)
комбинации вышеперечисленного ( hp-адаптивность ).

Решение двумерной задачи в круге с центром в начале координат и радиусом 1 с нулевыми граничными условиями. (а) Триангуляция. u x x + u y y = − 4 +u_=-4>

Метод конечных элементов ( МКЭ ) - широко используемый метод численного решения дифференциальных уравнений, возникающих в инженерно- математическом моделировании . Типичные проблемные области, представляющие интерес, включают традиционные области структурного анализа , теплопередачи , потока жидкости , массопереноса и электромагнитного потенциала . FEM - это общий численный метод решения уравнений в частных производных с двумя или тремя пространственными переменными (т. Е. Некоторых краевых задач ). Чтобы решить проблему, FEM подразделяет большую систему на более мелкие и простые части, которые называются конечными элементами . Это достигается определенной пространственной дискретизацией по пространственным измерениям, которая реализуется путем построения сетки объекта: числовой области для решения, имеющей конечное число точек. Постановка краевой задачи методом конечных элементов в конечном итоге приводит к системе алгебраических уравнений . Метод аппроксимирует неизвестную функцию по области. [1] Простые уравнения, моделирующие эти конечные элементы, затем собираются в более крупную систему уравнений, которая моделирует всю проблему. Затем в МКЭ используются вариационные методы. из вариационного исчисления для аппроксимации решения путем минимизации связанной функции ошибок.

Изучение или анализ явления с помощью FEM часто называют анализом конечных элементов ( FEA ).

СОДЕРЖАНИЕ

Разделение всего домена на более простые части дает несколько преимуществ: [2]

Точное отображение сложной геометрии
Включение разнородных свойств материала
Легкое представление общего решения
Захват локальных эффектов.

На первом шаге, описанном выше, элементные уравнения представляют собой простые уравнения, которые локально аппроксимируют исходные комплексные уравнения, подлежащие изучению, где исходные уравнения часто являются уравнениями в частных производных (УЧП). Чтобы объяснить приближение в этом процессе, метод конечных элементов обычно вводится как частный случай метода Галеркина . На математическом языке этот процесс состоит в построении интеграла от внутреннего произведения невязки и весовых функций и обнулении интеграла. Проще говоря, это процедура, которая сводит к минимуму ошибку аппроксимации путем подбора пробных функций в УЧП. Невязка - это ошибка, вызванная пробными функциями, а весовые функции являются полиномиальными. аппроксимационные функции, которые проецируют невязку. Процесс исключает все пространственные производные из PDE, таким образом аппроксимируя PDE локально с помощью

набор алгебраических уравнений для стационарных задач,
набор обыкновенных дифференциальных уравнений для нестационарных задач.

На шаге (2) выше глобальная система уравнений генерируется из уравнений элементов посредством преобразования координат из локальных узлов подобластей в глобальные узлы домена. Это пространственное преобразование включает в себя соответствующие корректировки ориентации , которые применяются в отношении к опорной системе координат . Процесс часто выполняется программным обеспечением FEM с использованием координатных данных, сгенерированных из подобластей.

FEM лучше всего понять из его практического применения, известного как анализ методом конечных элементов (FEA) . FEA, применяемый в инженерии, представляет собой вычислительный инструмент для выполнения инженерного анализа . Он включает в себя использование методов создания сетки для разделения сложной проблемы на мелкие элементы, а также использование программного обеспечения, закодированного с помощью алгоритма FEM. При применении FEA, комплекс проблемы, как правило , физическая система с подстилающей физикой , такими как уравнение Эйлера-Бернулли пучка пучка , в уравнении теплопроводности , или уравнения Навьего-Стокс , выраженных в любом PDE или интегральные уравнения , в то время как отдельные мелкие элементы сложной задачи представляют различные области физической системы.

FEA - хороший выбор для анализа проблем в сложных областях (таких как автомобили и нефтепроводы), когда область изменяется (как во время твердотельной реакции с движущейся границей), когда желаемая точность изменяется во всей области или когда раствору не хватает гладкости. Моделирование методом FEA является ценным ресурсом, поскольку устраняет многочисленные экземпляры создания и тестирования твердых прототипов для различных ситуаций с высокой точностью. [ необходимая цитата ] Например, при моделировании лобового столкновения можно повысить точность прогнозирования в «важных» областях, таких как передняя часть автомобиля, и уменьшить ее в ее задней части (таким образом, снижая стоимость моделирования). Другой пример - численный прогноз погоды. , где более важно иметь точные прогнозы развития сильно нелинейных явлений (таких как тропические циклоны в атмосфере или водовороты в океане), а не относительно спокойных районов.

Хотя трудно назвать дату изобретения метода конечных элементов, этот метод возник из-за необходимости решать сложные задачи анализа упругости и конструкции в гражданской и авиационной технике . Его развитие восходит к работам А. Хренникова [3] и Р. Куранта [4] в начале 1940-х годов. Еще одним пионером был Иоаннис Аргирис . В СССР внедрение метода в практику обычно связывают с именем Леонарда Оганесяна . [5] В Китае в конце 1950-х - начале 1960-х годов на основе расчетов конструкций плотин, К. Фэн предложил систематический численный метод решения уравнений в частных производных . Метод был назван методом конечных разностей, основанным на вариационном принципе , который явился еще одним независимым изобретением метода конечных элементов. Хотя подходы, используемые этими первопроходцами, различны, у них есть одна важная характеристика: сеточная дискретизация непрерывной области на набор дискретных подобластей, обычно называемых элементами.

Работа Hrennikoff в discretizes домена с помощью решетки аналогии, в то время как подход делит Куранта домена , указанные в конечные треугольных подобласти для решения второго порядка эллиптических дифференциальных уравнений (СИЕ) , которые возникают из - за проблемы кручения о наличии цилиндра . Вклад Куранта носил эволюционный характер, он опирался на большое количество более ранних результатов для PDE, разработанных Рэлеем , Ритцем и Галеркиным .

Метод конечных элементов получил свой настоящий импульс в 1960-х и 1970-х годах благодаря разработкам Дж. Х. Аргириса с коллегами из Штутгартского университета , Р. В. Клафа с коллегами из Калифорнийского университета в Беркли , О. К. Зенкевича с коллегами Эрнеста Хинтона , Брюса Айронса [6] и другие из Университета Суонси , Филипп Дж. Сиарле из Парижского университета 6 и Ричард Галлахер с коллегами из Корнельского университета. . Дальнейший импульс в эти годы был придан имеющимся программным обеспечением конечных элементов с открытым исходным кодом. НАСА спонсировало оригинальную версию NASTRAN , а Калифорнийский университет в Беркли сделал программу конечных элементов SAP IV [7] широко доступной. В Норвегии классификационное общество судов Det Norske Veritas (ныне DNV GL ) разработало Sesam в 1969 году для использования в анализе судов. [8] Строгая математическая основа метода конечных элементов была предоставлена в 1973 году в публикации Strang and Fix . [9] С тех пор этот метод был обобщен для численного моделирования физических систем в самых разных областях техники. дисциплины, например, электромагнетизм , теплопередача и гидродинамика . [10] [11]

P1 - одномерная задача

P2 - двумерная задача ( задача Дирихле )

Проблема P1 может быть решена непосредственно путем вычисления первообразных . Однако этот метод решения краевой задачи (BVP) работает только тогда, когда существует одно пространственное измерение, и не распространяется на проблемы более высокой размерности или подобные проблемы . По этой причине мы разработаем метод конечных элементов для P1 и опишем его обобщение для P2. u + u ″ = f

На первом этапе мы перефразируем исходный BVP в его слабой форме. Для этого шага обычно не требуется никаких вычислений. Преобразование выполняется вручную на бумаге.
Второй шаг - это дискретизация, когда слабая форма дискретизируется в конечномерном пространстве.

Первый шаг - преобразовать P1 и P2 в их эквивалентные слабые составы .

Мы определяем новый оператор или карту , используя интегрирование по частям в правой части (1): ϕ ( u , v )

где мы использовали предположение, что . v ( 0 ) = v ( 1 ) = 0

Если мы проинтегрируем по частям, используя форму тождеств Грина , мы увидим, что если решает P2, то мы можем определить для любого формулой u ϕ ( u , v ) v

Функция с нулевыми значениями на концах (синий) и кусочно-линейной аппроксимацией (красный) H 0 1 , ^,>

с конечномерной версией:

Можно надеяться, что по мере того, как нижележащая треугольная сетка становится все более тонкой, решение дискретной задачи (3) в некотором смысле сходится к решению исходной краевой задачи P2. Чтобы измерить эту мелкость сетки, триангуляция индексируется параметром с действительным знаком, который считается очень маленьким. Этот параметр будет связан с размером самого большого или среднего треугольника в триангуляции. При уточнении триангуляции пространство кусочно-линейных функций также должно измениться с . По этой причине часто читают вместо литературы. Поскольку мы не проводим такой анализ, мы не будем использовать эти обозначения. h > 0 0> V h V h > V

Линейная комбинация базисных функций (желтый) воспроизводит J ₀ (черный) с любой желаемой точностью.

для ; эта основа - сдвинутая и масштабируемая функция палатки . Для двумерного случая мы снова выбираем одну базисную функцию на вершину триангуляции плоской области . Функция является единственной функцией , значение которого на и ноль при каждом . k = 1 , … , n v k > x k > Ω v k > V 1 x k > x j , j ≠ k ,\;j\neq k>

движущиеся узлы (r-адаптивность)
уточняющие (и необработанные) элементы (h-адаптивность)
изменение порядка базовых функций (p-адаптивность)
комбинации вышеперечисленного ( hp-адаптивность ).

Читайте также: