В состав одного набора конструктора y входит 150 одинаковых по размеру деталей

Обновлено: 29.04.2024

Решаем задачи на оптимальный выбор. Эти – с изюминкой.

Задача 1. На каждом из двух комбинатов изготавливают детали А и В. На первом комбинате работают 40 человек, и один рабочий за смену изготавливает 15 деталей А или 5 деталей В. На втором комбинате работают 160 человек, и один рабочий изготавливает за смену 5 деталей А или 15 деталей В.

Оба эти комбината поставляют детали на завод, где собирают изделие, для изготовления которого нужны 2 детали А и 1 деталь В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько таких изделий может собрать завод за смену?

Решение. Рассмотрим первый комбинат. Пусть детали А изготавливает $x$ человек, тогда они изготовят $15x$ деталей. А детали B будут изготавливать $40-x$ человек, и они сделают этих деталей $(40-x)\cdot 5$.

Теперь второй комбинат – на нем $y$ человек будут заняты изготовлением деталей A и сделают их $5y$ штук. А $160-y$ человек будут делать детали B и изготовят таких деталей $(160-y)\cdot 15$ штук.

Всего деталей А получится в сумме $15x+5y$.

А деталей В выйдет $200-5x+2400-15y$. Отношение числа деталей А к числу деталей B должно быть 2:1

Нам в итоге нужно получить максимальное количество изделий, а изделий в два раза меньше, чем деталей А, поэтому надо увеличить максимально число деталей А (но можно аналогично устремить к максимуму число деталей B):

$$15x+5y \longrightarrow max$$

Подставим полученное значение $x$:

$$3120-21y+5y \longrightarrow max$$

$$3120-16y \longrightarrow max$$

То есть, по идее, чтобы функция приняла максимальное значение, $y=0$, а $x \longrightarrow max$. Но в этом случае получим чрезмерное количество деталей B. Тогда возьмем максимально возможное число $x$ – $x=40$. Следовательно,

Следовательно, на первом комбинате делаем детали A, и сделаем их 600 штук. А на втором комбинате будут делать детали А 120 человек, и сделают их тоже 600 штук – итого 1200. А детали B делаем только на втором комбинате – их делает 40 человек, и они изготовят 600 штук, что как раз в 2 раза меньше числа деталей А. Всего изделий получится – по числу деталей В – 600 штук.

Задача 2. На каждой из двух фабрик изготавливают детали А и В. На первой фабрике работает 300 человек, и один рабочий изготавливает за смену 5 деталей А или 10 деталей В. На второй фабрике работает 100 человек, и один рабочий изготавливает за смену 10 деталей А или 5 деталей В. Обе фабрики поставляют детали на комбинат, на котором собирают изделие, для изготовления которых нужно 2 детали А и 1 деталь В. При этом фабрики договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы на комбинате можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий за смену может собрать комбинат при таких условиях?

Решение. Рассмотрим первую фабрику. Пусть детали А изготавливает $x$ человек, тогда они изготовят $5x$ деталей. А детали B будут изготавливать $300-x$ человек, и они сделают этих деталей $(300-x)\cdot 10$.

Теперь вторая фабрика – на ней $y$ человек будут заняты изготовлением деталей A и сделают их $10y$ штук. А $100-y$ человек будут делать детали B и изготовят таких деталей $(100-y)\cdot 5$ штук.

Всего деталей А получится в сумме $5x+10y$.

А деталей В выйдет $3000-10x+500-5y$. Отношение числа деталей А к числу деталей B должно быть 2:1. Составляем уравнение

Число изделий совпадает с числом деталей В, поэтому

$$3500-10x-5y \longrightarrow max$$

$$3500-10x-5\cdot(350-\fracx) \longrightarrow max $$

$$3500-1750-10x+\fracx \longrightarrow max $$

То есть функция принимает максимальное значение при минимальном $x$, или, иными словами, при максимальном $y$. А максимальное значение $y=100$. Тогда $x=200$.

Значит, на второй фабрике детали B не изготавливают, а деталей А будет сделано 1000. На первой фабрике 200 человек изготовят 1000 деталей А, а 100 человек – 1000 деталей B и получится в итоге 1000 изделий.

Задача 3. На каждой из двух фабрик изготавливают детали А н В. На первой фабрике работает 400 человек, и один рабочий изготавливает за смену 5 деталей А или 15 деталей В. На второй фабрике работает 100 человек, и один рабочий изготавливает за смену 15 деталей А или 5 деталей В.

Обе фабрики поставляют детали на комбинат, на котором собирают изделие, для изготовления которого нужны 1 деталь А и 2 детали В. При этом фабрики договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы на комбинате можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий за смену может собрать комбинат при таких условиях?

Решение. Рассмотрим первую фабрику. Пусть детали А изготавливает $x$ человек, тогда они изготовят $5x$ деталей. А детали B будут изготавливать $400-x$ человек, и они сделают этих деталей $(400-x)\cdot 15$.

Теперь вторая фабрика – на ней $y$ человек будут заняты изготовлением деталей A и сделают их $15y$ штук. А $100-y$ человек будут делать детали B и изготовят таких деталей $(100-y)\cdot 5$ штук.

Всего деталей А получится в сумме $5x+15y$.

А деталей В выйдет $(400-x)\cdot 15+(100-y)5$. Отношение числа деталей А к числу деталей B должно быть 1:2. Составляем уравнение

Число изделий совпадает с числом деталей А, поэтому

$$5x+15\cdot \frac\longrightarrow max $$

То есть функция принимает максимальное значение при минимальном $x$, или, иными словами, при максимальном $y$. А максимальное значение $y=100$. Тогда $x=120$.

Значит, на второй фабрике детали B не изготавливают, а деталей А будет сделано 1500. На первой фабрике 120 человек изготовят 600 деталей А, а 280 человек – 4200 деталей B и получится в итоге 2100 изделий.

В ящике находится $K$ стандартных и $N-K$ бракованных деталей (всего $N$ деталей). Наудачу и без возвращения вынимают $n$ деталей. Найти вероятность того, что будет выбрано ровно $k$ стандартных и $n-k$ бракованных деталей.

*Поясню, что значит "примерно": вместо деталей могут фигурировать изделия, болты, телевизоры и т.п.; детали могут быть стандартными и бракованными, или годными и дефектными, или обычными и поломанными и так далее. Главное, чтобы они были ДВУХ типов, тогда один тип вы считаете условно "стандартными", второй - "бракованными" и используете формулу для решения, которую мы выведем ниже.

Сначала найдем общее число исходов - это число всех различных способов выбрать любые $n$ деталей из общего множества в $N$ деталей (без учета порядка), то есть число сочетаний $C_N^n$ (см. подробнее про сочетания).

Теперь найдем число всех способов выбрать $k$ стандартных деталей из $K$ возможных - это сочетания $C_K^k$, и одновременно число всех способов выбрать $n-k$ бракованных деталей из $N-K$ возможных - $C_^$. По правилу произведения перемножая эти числа, получим число исходов, благоприятствующих нашему событию - $C_K^k \cdot C_^$.

Применяя классическое определение вероятности - поделив число благоприятствующих исходов на общее число исходов, придем к искомой формуле:

Видеоурок и шаблон Excel

Посмотрите наш ролик о решении задач про детали в схеме гипергеометрической вероятности, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.

Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.

Примеры решений задач о выборе деталей/изделий

Пример 1. В партии из 12 изделий 5 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными?

Популярная задача из методички, в которой меняются только цифры, а вариантов множество. С помощью данного решения и калькулятора ниже для числовых расчетов, вы легко получите полное решение задачи. Для разнообразия сделаем подробное пояснение.

Начинаем решение задачи с ввода события $A = $ (Из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными) и общей формулы для нахождения вероятности. Так как речь идет о выборе объектов из совокупности, используем классическое определение вероятности $P(A)=m/n$, где $n$ - общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ - число исходов, благоприятствующих событию $A$.

Сначала найдем общее число исходов - это число способов выбрать любые 4 изделия из партии в 12 изделий. Так как порядок выбора несущественнен, применяем формулу для числа сочетаний из 12 объектов по 4: $n=C_^4$.

Теперь переходим к числу благоприятствующих событию исходов. Для этого нужно, чтобы из 4 выбранных изделий 2 были дефектные (выбираем любые 2 дефектные изделия из 5 $C_5^2$ способами) и еще 2 - стандартные (выбираем любые 2 стандартные изделия из 12-5=7 имеющихся в партии $C_7^2$ способами). Тогда всего способов выбрать 2 дефектных и 2 обычных изделия из партии будет $m = C_5^2 \cdot C_7^2$.

Нужная вероятность равна:

Пример 2. В ящике 16 стандартных и 7 бракованных деталей. Наудачу извлечены 6 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных ровно 4 стандартных детали.

Пример 3. В партии из 12 изделий 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 3 наугад взятых есть хотя бы одно нестандартное.

Эта задача самую малость сложнее предыдущих. В ней помимо исходного события
$A = $ (Среди 3 наугад взятых изделий есть хотя бы одно нестандартное),
введем еще противоположное ему событие, которое можно записать как
$\overline = $ (Все три выбранные изделия стандартные).

Тогда вероятность искомого события (что будет хотя бы одно нестандартное изделие из 3), равна:

Пример 4. Мастер для замены получил 8 однотипных деталей, из которых 3 бракованные. Он заменил 2 детали. Найти вероятность того, что замененными оказались годные детали.

Перед вами итоговый тест к разделу «Основы конструирования».

В тесте есть вопросы, за которые вы можете получить два балла: это вопросы повышенной сложности.

Для того чтобы ответить на некоторые вопросы теста, вам потребуется не только прослушать лекции, но и самостоятельно поискать информацию.

(1 возможный балл)

Как называется единица измерения длин в конструкторе LEGO Mindstorms NXT?
Ответ запишите в форме одного слова (в ед. ч.) и числа, обозначающего размерность этой единицы измерения в мм.
Например: сантиметр 10

(1 возможный балл)

Выберите лишнюю деталь:

Втулка
Пластина
Фиксатор
Штифт
Шестеренка

(2 возможных балла)

Даны две абсолютно одинаковых снаружи модели соосного редуктора в картере. В редукторе А передаточное отношение 9:1, в редукторе В передаточное отношение 3:1.
Какие шестеренки использованы в каждом из них?
Ответ дайте для каждого редуктора в форме перечисления количества зубьев шестеренок от наименьшего к наибольшему через запятую.

Например: 16, 16, 24, 40, 40

(2 возможных балла)

Используя всего лишь один инструмент трехмерного редактора Lego Digital Designer, мы тремя кликами мыши из изображения А получили изображение Б, ничего не удаляя и не добавляя.

Как называется этот инструмент?

Напишите ответ на английском языке:

(1 возможный балл)